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Inverse Normalverteilung
Die inverse Normalverteilung (auch inverse Gauß-Verteilung oder Wald-Verteilung genannt) ist eine kontinuierliche Wahrscheinlichkeitsverteilung.
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Kernidee und Bedeutung
Die inverse Normalverteilung, auch inverse Gauß-Verteilung oder Wald-Verteilung genannt, ist eine kontinuierliche Wahrscheinlichkeitsverteilung. Sie wird unter anderem in verallgemeinerten linearen Modellen verwendet und gehört zur Exponentialfamilie.
Eine wichtige Motivation kommt aus der Brownschen Molekularbewegung mit Drift. Bei einer Brownschen Bewegung mit Drift v > 0 und Streuungskoeffizient λ > 0 ist die zufällige Zeit, zu der erstmals ein Niveau a > 0 erreicht wird, invers normalverteilt. Die zugehörigen Parameter sind (a/v, a²/λ²). Damit beschreibt die Verteilung besonders Wartezeiten oder Erreichungszeiten in zufälligen Bewegungsprozessen.
Definition
Eine stetige Zufallsvariable X hat eine inverse Normalverteilung mit den Parametern λ > 0 und μ > 0, wenn sie die angegebene Wahrscheinlichkeitsdichte besitzt. Dabei heißt λ die Ereignisrate und μ der Erwartungswert.
Für x > 0 gilt:
f(x) = (λ/(2πx³))^(1/2) · exp(-λ(x - μ)²/(2μ²x)).
Für x ≤ 0 gilt:
f(x) = 0.
Die Verteilung ist also nur für positive Werte von X definiert. Das passt zu Anwendungen, in denen X eine Zeit, eine Dauer oder eine andere positive Größe beschreibt.
Verteilungsfunktion
Die Verteilungsfunktion F(x) gibt an, mit welcher Wahrscheinlichkeit die Zufallsvariable X höchstens den Wert x annimmt. Für die inverse Normalverteilung wird sie mithilfe der Funktion Φ ausgedrückt, der Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung.
Sie lautet:
F(x) = IG(x; μ/√λ; √λ) := 1 - Φ(√λ/√x - (μ/√λ)√x) + e^(2μ) Φ(-√λ/√x - (μ/√λ)√x).
Diese Formel zeigt, dass die inverse Normalverteilung eng mit der Normalverteilung zusammenhängt, aber eine eigene Verteilung für positive Werte ist.
Lage und Streuung
Der Erwartungswert der inversen Normalverteilung ist besonders einfach:
E(X) = μ.
Die Varianz misst die mittlere quadratische Streuung um den Erwartungswert und ist:
Var(X) = μ³/λ.
Daraus folgt für die Standardabweichung:
σ = √(μ³/λ).
Der Variationskoeffizient vergleicht die Streuung mit dem Erwartungswert. Er ist:
VarK(X) = √(μ/λ).
Damit beeinflussen beide Parameter die Form der Verteilung: μ bestimmt den Erwartungswert, während λ zusammen mit μ die Streuung festlegt.
Form und Funktionen
Die Schiefe beschreibt, ob eine Verteilung asymmetrisch ist. Für die inverse Normalverteilung gilt:
v(X) = 3√(μ/λ).
Die Wölbung, auch Kurtosis genannt, beschreibt die Stärke der Gipfelbildung und der Randbereiche einer Verteilung. Sie ist:
β₂ = 15μ/λ + 3.
Die Exzess-Kurtosis ist die Wölbung minus 3:
γ₂ = β₂ - 3 = 15μ/λ.
Die charakteristische Funktion lautet:
φ_X(s) = exp((λ/μ)(1 - √(1 - 2μ²is/λ))).
Die momenterzeugende Funktion hat die entsprechende Form ohne imaginäre Einheit i:
m_X(s) = exp((λ/μ)(1 - √(1 - 2μ²s/λ))).
Außerdem ist die Laplacetransformation angegeben durch:
E[e^(-λT)] = ∫₀^∞ e^(-λt) IG(dt; ζ; u) = exp{-u(√(2λ + ζ²) - ζ)}.
Reproduzierbarkeit und Anwendung
Die inverse Normalverteilung besitzt eine Reproduzierbarkeitseigenschaft. Sind X₁, …, Xₙ Zufallsvariablen mit inverser Normalverteilung und den Parametern λ und μ, dann ist der Mittelwert
(1/n) ∑ᵢ₌₁ⁿ Xᵢ
wieder invers normalverteilt. Die neuen Parameter sind nλ und μ.
Eine Anwendung findet sich in der Versicherungsmathematik. Zur Berechnung der Ruinwahrscheinlichkeit kann die zeitliche Verteilung der Schäden mithilfe des Satzes von Donsker durch eine Brownsche Bewegung approximiert werden. Die daraus entstehenden approximierten Ruinwahrscheinlichkeiten beruhen auf speziellen Parametrisierungen der inversen Normalverteilung.