Integralkriterium

Grundidee und Bedeutung

Das Integralkriterium, auch Integralvergleichskriterium genannt, ist ein mathematisches Konvergenzkriterium für unendliche Reihen. Es ermöglicht, die Frage, ob eine Reihe einen endlichen Grenzwert besitzt, auf die Untersuchung eines uneigentlichen Integrals zurückzuführen. Dazu wird die Reihe als Fläche unter einer Treppenfunktion verstanden und mit der Fläche unter einer geeigneten Kurve verglichen.

Eine Abschätzung der Fläche nach oben kann die Konvergenz der Reihe nachweisen. Eine Abschätzung nach unten kann zeigen, dass die Reihe divergiert, also keinen endlichen Grenzwert besitzt. Der Flächeninhalt unter der Kurve wird durch das Integral berechnet.

Formulierung des Kriteriums

Es sei p eine ganze Zahl und f eine monoton fallende Funktion, die auf dem Intervall [p, ∞) definiert ist und nur nichtnegative Werte annimmt. Dann gilt:

Die Reihe ∑ₙ₌ₚ^∞ f(n) konvergiert genau dann, wenn das Integral ∫ₚ^∞ f(x) dx existiert, also einen endlichen Wert annimmt. Statt von der Existenz des Integrals spricht man auch von der Konvergenz des Integrals.

Genauer lautet die Aussage für p ∈ ℤ und f: [p, ∞) → [0, ∞), wenn f monoton fallend ist:

f ist auf [p, ∞) integrierbar ⇔ ∑ₙ₌ₚ^∞ f(n) ist konvergent.

Wenn eines von beiden gilt – wenn also das Integral einen endlichen Wert besitzt oder die Reihe konvergiert –, gilt auch das jeweils andere. Zusätzlich erhält man die Abschätzungen

∑ₙ₌ₚ₊₁^∞ f(n) ≤ ∫ₚ^∞ f(x) dx ≤ ∑ₙ₌ₚ^∞ f(n).

Für die Anwendung prüft man daher zunächst, ob die Reihenglieder als f(n) für eine nichtnegative, monoton fallende Funktion f geschrieben werden können. Anschließend untersucht man das zugehörige uneigentliche Integral. Ist es endlich, konvergiert die Reihe; ist es divergent, divergiert auch die Reihe.

Typische Beispiele

Für die Reihe ∑ₙ₌₁^∞ 1/n² wählt man die Funktion f: [1, ∞) → ℝ mit f(x) = 1/x². Diese Funktion ist auf [1, ∞) monoton fallend. Das zugehörige Integral ist

∫₁^∞ 1/x² dx = limᵦ→∞ [−1/x]₁ᵦ = 1.

Das Integral nimmt also den endlichen Wert 1 an. Nach dem Integralkriterium ist die Reihe ∑ₙ₌₁^∞ 1/n² konvergent.

Bei der harmonischen Reihe ∑ₙ₌₁^∞ 1/n verwendet man f: [1, ∞) → ℝ mit f(x) = 1/x. Auch diese Funktion ist auf [1, ∞) monoton fallend, sodass das Integralkriterium angewendet werden kann. Es gilt

∫₁^∞ 1/x dx = limᵦ→∞ [ln(x)]₁ᵦ = +∞.

Das Integral ist divergent. Deshalb ist nach dem Integralkriterium auch die harmonische Reihe divergent.

Anschauliche Begründung

Die Begründung beruht auf dem Vergleich von Flächen und Rechtecken. Weil f monoton fällt, ist auf jedem Intervall [q, q+1] mit einer ganzen Zahl q der Wert f(q) der größte und f(q+1) der kleinste Funktionswert. Das Intervall besitzt die Breite 1. Daher liegt der Flächeninhalt unter dem Graphen von f auf diesem Intervall zwischen f(q+1) · 1 und f(q) · 1.

Summiert man diese Rechtecksflächen über viele aufeinanderfolgende Intervalle, entstehen Ober- und Untersummen. Daraus ergeben sich die Abschätzungen zwischen Integral und Reihe. Die Rechtecke mit den Höhen f(q) liefern die oberen Werte, die Rechtecke mit den Höhen f(q+1) die unteren Werte.

Konvergiert die Reihe ∑ₙ₌ₚ^∞ f(n), nähert sie sich ab p unendlich nahe einem Grenzwert an. Dann nähert sich auch die unter dem Graphen liegende Fläche einem endlichen Flächenwert. Umgekehrt kann eine Fläche, die keinen endlichen Grenzwert besitzt und gegen unendlich wächst, kein endliches Integral ergeben. Deshalb können Integral und Reihe unter den genannten Voraussetzungen genau dann konvergieren, wenn auch der jeweils andere Ausdruck konvergiert.