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Indexverschiebung
Mit Indexverschiebung oder Indexshift bezeichnet man bei Summen oder Reihen die Substitution des Summationsindex durch Addition einer ganzen Zahl.
Inhalt3 Abschnitte
Grundidee und allgemeine Regel
Eine Indexverschiebung (auch Indexshift) ist bei Summen oder Reihen die Ersetzung des Summationsindex durch die Addition einer ganzen Zahl. Der Wert der Summe beziehungsweise Reihe bleibt unverändert. Sie wird meist verwendet, um eine weitere Rechnung zu vereinfachen.
Für eine ganze Zahl z gilt:
∑{k=1}^{n} a_k = ∑{k=1+z}^{n+z} a_{k-z}.
Dabei werden sowohl die Summationsgrenzen als auch der Index im Summanden entsprechend verschoben.
Beispiel einer Indexverschiebung
Die Summe
∑_{k=1}^{4}(k+4)
ergibt
(1+4)+(2+4)+(3+4)+(4+4)=26.
Setzt man t=k+4, so gilt für die Summanden t=(k+4). Die untere Grenze wird umgerechnet:
k=1 ⇔ t−4=1 ⇔ t=5.
Die obere Grenze wird ebenfalls umgerechnet:
k=4 ⇔ t−4=4 ⇔ t=8.
Daraus folgt die verschobene Darstellung:
∑_{t=5}^{8}t=5+6+7+8=26.
Die Summe hat also denselben Wert, obwohl der Index und die Grenzen verändert wurden.
Anwendung bei Produkten
Indexverschiebungen sind analog bei anderen mathematischen Operationen möglich, die über einen fortlaufenden Index verfügen. Für ein Produkt gilt:
∏{k=m}^{n}a_k = ∏{k=m+z}^{n+z}a_{k-z}.
Wie bei Summen werden die Grenzen und der Index des jeweiligen Terms gemeinsam um die ganze Zahl z verschoben.
