Idealisiertes Treibhausmodell

Grundidee des Treibhauseffekts

Das idealisierte Treibhausmodell ist ein vereinfachtes Modell zur Bestimmung der Oberflächen- und Atmosphärentemperatur eines Planeten. Es zeigt, wie Treibhausgase die Oberfläche erwärmen, und wird häufig in Lehrbüchern verwendet.

Die Sonnenoberfläche sendet Strahlung aus, die einer effektiven Temperatur von etwa 5.500 °C entspricht. Ein großer Teil liegt im sichtbaren und anderen kurzwelligen Bereichen. Die wesentlich kältere Erde strahlt gemäß dem planckschen Strahlungsgesetz dagegen vor allem langwellige Infrarotstrahlung ab. Bestimmte Gase wie Kohlenstoffdioxid und Wasserdampf lassen die kurzwellige Sonnenstrahlung weitgehend passieren, absorbieren aber einen Teil der langwelligen Wärmestrahlung der Erdoberfläche.

Nach dem Kirchhoffschen Strahlungsgesetz muss ein Körper im thermischen Gleichgewicht absorbierte Energie wieder emittieren. Eine isotrop strahlende Atmosphäre sendet diese Energie in alle Richtungen aus, also auch zurück zur Oberfläche. Diese nach unten gerichtete Strahlung heißt atmosphärische Gegenstrahlung. Dadurch wird die Oberfläche wärmer, als sie ohne absorbierende Atmosphäre wäre. Mit steigender Temperatur nimmt ihre Abstrahlung zu, bis an der Oberseite der Atmosphäre wieder genauso viel Energie ins Weltall abgegeben wird, wie das System von der Sonne aufnimmt.

Annahmen und Größen des Modellplaneten

Der Modellplanet ist eine perfekte Kugel und erhält von seinem Zentralgestirn eine zeitlich konstante Strahlung. Die Solarkonstante S₀ gibt die Bestrahlungsstärke des senkrecht auf die Planetenoberfläche treffenden Sonnenlichts an. Die planetare Albedo αₚ bezeichnet den Anteil der einfallenden Sonnenstrahlung, der reflektiert wird. Sie wird als unabhängig von Ort, Zeit und Wellenlänge angenommen.

Die Oberflächentemperatur Tₛ und die Atmosphärentemperatur Tₐ sind jeweils überall gleich und zeitlich konstant. Der Index s steht für englisch surface. Planet und Atmosphäre befinden sich im Strahlungs- und Temperaturgleichgewicht: Die Temperaturen haben sich so eingestellt, dass die an der Oberseite der Atmosphäre abgegebene Strahlungsleistung zur aufgenommenen Leistung passt.

Die Atmosphäre ist für das kurzwellige Sonnenlicht vollständig transparent. Die Oberfläche besitzt für langwellige Strahlung den Emissionsgrad 1 und wird somit als schwarzer Körper behandelt. Der Emissionsgrad gibt an, wie stark ein Körper im Vergleich zu einem idealen schwarzen Körper strahlt. Nach dem Kirchhoffschen Strahlungsgesetz sind Emissions- und Absorptionsgrad bei einer bestimmten Wellenlänge gleich. Im Modell bezeichnet ε deshalb sowohl den mittleren Emissionsgrad der Atmosphäre als auch ihren Absorptionsgrad für die Infrarotstrahlung. Für die von Oberfläche und Atmosphäre ausgehenden Infrarotströme wird derselbe mittlere Wert ε verwendet.

Energie- und Temperaturgleichungen

Die schwarze Planetenoberfläche emittiert nach dem Stefan-Boltzmann-Gesetz je Quadratmeter den Strahlungsfluss

F = σTₛ⁴,

wobei die Stefan-Boltzmann-Konstante σ ≈ 5,670 374 · 10⁻⁸ W/(m²K⁴) beträgt. Die folgenden Bilanzen beziehen sich auf Strahlungsflüsse je Quadratmeter.

Die nach oben ins Weltall gerichtete Strahlung setzt sich aus der Emission der Atmosphäre und dem nicht absorbierten Teil der Oberflächenstrahlung zusammen:

F↑ = εσTₐ⁴ + (1 − ε)σTₛ⁴. (1)

Dabei wird die Atmosphäre als infinitesimal dünne Schicht betrachtet, deren abstrahlende Fläche genauso groß wie die Planetenoberfläche ist. An der Oberseite der Atmosphäre gilt im Gleichgewicht:

S₀/4 · (1 − αₚ) = εσTₐ⁴ + (1 − ε)σTₛ⁴. (2)

Der Faktor 1/4 entsteht, weil die Oberfläche einer Kugel viermal so groß wie ihre Querschnittsfläche ist. An der Oberfläche muss die ausgesandte Strahlung gleich der absorbierten Sonnenstrahlung plus der Gegenstrahlung der Atmosphäre sein:

σTₛ⁴ = S₀/4 · (1 − αₚ) + εσTₐ⁴. (3)

Aus beiden Bilanzen folgt für die Atmosphäre:

εσTₛ⁴ = 2εσTₐ⁴. (4)

Der Faktor 2 ist wichtig, weil die Atmosphäre gleich stark nach oben und nach unten strahlt. Damit ergibt sich

Tₐ = Tₛ/2^(1/4) ≈ Tₛ/1,189. (5)

Das Verhältnis von Atmosphären- zu Oberflächentemperatur ist in diesem Modell unabhängig von ε. Für die Oberflächentemperatur folgt

Tₛ = [S₀(1 − αₚ)/(4σ(1 − ε/2))]^(1/4). (6)

Die effektive Temperatur Tₑ ist die Temperatur, die den gesamten ausgehenden Strahlungsfluss durch F↑ = σTₑ⁴ beschreibt, wenn Planet und Atmosphäre gemeinsam als isothermer perfekter Strahler betrachtet werden. Sie entspricht der Oberflächentemperatur bei ε = 0, also ohne absorbierende Atmosphäre:

Tₑ = [S₀(1 − αₚ)/(4σ)]^(1/4). (7)

Daraus ergibt sich auch

Tₛ = Tₑ/(1 − ε/2)^(1/4). (8)

Ergebnisse für die Erde

Für die Erde werden S₀ = 1366 W/m² und eine mittlere Albedo von αₚ = 0,3 eingesetzt. Bei einem perfekten Treibhaus mit ε = 1 kann keine Oberflächenstrahlung unmittelbar ins Weltall entweichen. Das Modell ergibt dann Tₛ = 303 K = 30 °C und Tₐ = 254 K = −19 °C.

Die geschätzte globale mittlere Oberflächentemperatur der Erde beträgt ungefähr 287 K beziehungsweise 14 °C. Sie lässt sich im Modell durch ε = 0,76 darstellen. Dann entweichen 24 Prozent der von der Oberfläche emittierten Strahlung direkt ins All. Die Rechnung liefert Tₛ = 287,16 K = 14,0 °C und Tₐ = 241,5 K = −31,7 °C. Die zugehörige effektive Temperatur beträgt Tₑ = 255 K = −18,3 °C.

Die effektive Temperatur ist nur ein Maß für die Stärke der insgesamt von der Erde ausgehenden Strahlung. Sie darf nicht mit einer tatsächlich überall vorhandenen Erdtemperatur verwechselt werden.

Strahlungsantrieb und Grenzen

Der Strahlungsantrieb einer Verdopplung der atmosphärischen Kohlenstoffdioxidkonzentration beträgt bei einfacher Parametrisierung 3,71 W/m²; dies ist auch der vom IPCC angegebene Wert. Aus Gleichung (1) folgt für eine Änderung des atmosphärischen Emissions- und Absorptionsgrades:

ΔF↑ = Δε(σTₐ⁴ − σTₛ⁴).

Mit den Temperaturen für ε = 0,76 entspricht ΔF↑ = −3,71 W/m² einer Änderung Δε = 0,019. Eine Erhöhung von ε von 0,76 auf 0,78 stimmt daher näherungsweise mit dem Strahlungsantrieb einer CO₂-Verdopplung überein. Für ε = 0,78 ergibt sich Tₛ = 288,3 K = 15,2 °C, also eine Erwärmung um ΔTₛ = 1,2 K.

Ein typisches Klimamodell liefert dagegen etwa 3 K Erwärmung, vor allem weil es positive Rückkopplungen wie die Wasserdampf-Rückkopplung berücksichtigt: Erwärmung erhöht die Wasserdampfkonzentration, wodurch der Treibhauseffekt weiter verstärkt wird. Wird dies im einfachen Modell näherungsweise durch eine zusätzliche Erhöhung um 0,02 auf insgesamt Δε = 0,04 erfasst, ergibt sich ΔTₛ = 2,4 K. Dieser Wert stimmt ungefähr mit den Angaben des IPCC überein.

Die Kugelgestalt ist für die Erde eine gute Näherung. Die Annahmen konstanter Sonnenstrahlung und weltweit einheitlicher Oberflächen- und Atmosphärentemperaturen sind jedoch weit von der Wirklichkeit entfernt. Konvektion und Meeresströmungen gleichen Temperaturunterschiede teilweise aus, aber nicht vollständig. Die sogenannte Solarkonstante schwankt insbesondere mit dem Sonnenfleckenzyklus. Die örtliche Einstrahlung verändert sich stark durch Erdrotation, Umlauf um die Sonne und Präzession sowie im Tages- und Jahresverlauf.

Auch die Temperaturen sind räumlich und zeitlich verschieden: Die Äquatorialzone ist ganzjährig wärmer als die Polarzonen, Sandboden erwärmt sich bei Sonneneinstrahlung stärker als die Meeresoberfläche, und in der Atmosphäre wechseln warme und kalte Schichten. Die Biosphäre beeinflusst ebenfalls das System. Pflanzenwachstum verändert Albedo und CO₂-Gehalt; die Verdunstung der Vegetation wirkt auf den atmosphärischen Wasserkreislauf.

Varianten des Modells

Statt einer Oberflächen- und einer Atmosphärentemperatur kann das Modell auch eine untere und eine obere Atmosphärentemperatur betrachten. Außerdem lässt sich das einschichtige Modell zu einem mehrschichtigen Atmosphärenmodell erweitern. Dafür werden die Temperaturgleichungen durch eine Reihe gekoppelter Gleichungen für die einzelnen Schichten ersetzt.

Ein solches einfaches Mehrschichtenmodell sagt stets voraus, dass die Temperatur mit zunehmender Höhe abnimmt und bei steigender Treibhausgaskonzentration in allen Schichten zunimmt. Beides ist für die Erde nicht realistisch. Oberhalb der Tropopause steigt die Temperatur mit der Höhe wieder an. Bei zunehmender Treibhausgaskonzentration wird für die dort liegende Stratosphäre dagegen eine Abkühlung erwartet und beobachtet. Der Grund für diese Abweichung ist, dass die reale Erdatmosphäre in verschiedenen Wellenlängenbereichen unterschiedliche Transmissivitäten, also unterschiedliche Durchlässigkeiten für Strahlung, besitzt.