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Homologie mit Koeffizienten
In der Mathematik ist Homologie mit Koeffizienten in einer abelschen Gruppe eine Verallgemeinerung der klassischen Homologietheorien.
Inhalt4 Abschnitte
Grundidee und Definition
Homologie mit Koeffizienten in einer abelschen Gruppe ist eine Verallgemeinerung der klassischen Homologietheorien. Sie beschreibt die Homologie eines Kettenkomplexes, nachdem seine Kettengruppen mit einer abelschen Gruppe G über dem Ring der ganzen Zahlen tensoriert wurden.
Sei 0 ← K₀ ← K₁ ← K₂ ← K₃ ← …
ein Kettenkomplex und G eine abelsche Gruppe. Die Homologie mit Koeffizienten in G ist die Homologie des Kettenkomplexes 0 ← K₀ ⊗ℤ G ← K₁ ⊗ℤ G ← K₂ ⊗ℤ G ← K₃ ⊗ℤ G ← … .
Für G = ℤ erhält man wieder die Homologie des ursprünglichen Kettenkomplexes.
Anwendung auf Räume und Simplizialkomplexe
Für einen topologischen Raum X bezeichnet H₍*₎(X,G) die Homologie des singulären Kettenkomplexes mit Koeffizienten in G. Für G = ℤ entsteht daraus die singuläre Homologie.
Für einen Simplizialkomplex S bezeichnet H₍*₎(S,G) die Homologie des simplizialen Kettenkomplexes mit Koeffizienten in G. Für G = ℤ erhält man die simpliziale Homologie.
Die Wahl der Koeffizientengruppe kann daher beeinflussen, welche Homologiegruppen eines Raumes oder Komplexes auftreten.
Beispiel: reeller projektiver Raum
Betrachtet wird X = ℝPⁿ, der reelle projektive Raum, mit einem Körper F als Koeffizientengruppe.
- Hat F Charakteristik 2, so gilt Hₖ(ℝPⁿ,F) = F für alle k mit 0 ≤ k ≤ n.
- Gilt char(F) ≠ 2, so ist H₀(ℝPⁿ,F) = F. Für ungerades n gilt zusätzlich Hₙ(ℝPⁿ,F) = F. Für alle anderen Werte von k ist Hₖ(ℝPⁿ,F) = 0.
Berechnung mit dem universellen Koeffizientensatz
Die Homologie mit Koeffizienten kann aus der klassischen Homologie mithilfe des universellen Koeffizientensatzes berechnet werden:
0 → Hₙ(X) ⊗ G → Hₙ(X;G) → Tor₁ℤ(Hₙ₋₁(X),G) → 0.
Dabei verbindet der Satz die Homologiegruppe Hₙ(X;G) mit dem Tensorprodukt Hₙ(X) ⊗ G und dem Term Tor₁ℤ(Hₙ₋₁(X),G). Der genaue Zusammenhang wird durch die angegebene kurze exakte Sequenz beschrieben.