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Hasse-Diagramm
In der Mathematik ist ein Hasse-Diagramm (auch Ordnungs- oder einfach Liniendiagramm genannt) eine bestimmte graphische Darstellung endlicher halbgeordneter …
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Definition und Aufbau
Ein Hasse-Diagramm, auch Ordnungs- oder Liniendiagramm genannt, stellt eine endliche halbgeordnete Menge grafisch dar. Eine Halbordnung (M,\leq) besteht aus einer Menge M und einer Ordnungsrelation \leq; die Elemente von M erscheinen als Knoten.
Zwei Knoten a und b werden genau dann durch eine Kante verbunden, wenn a<b gilt und kein Element c mit a<c<b existiert. Dabei bedeutet a<b, dass a\leq b und a\neq b gelten. Das Weglassen aller Beziehungen, die sich über Zwischenelemente ergeben, heißt transitive Reduktion.
Die Richtung wird nicht durch Pfeile, sondern durch die Lage angezeigt: Gilt die dargestellte unmittelbare Beziehung a<b, liegt b oberhalb von a. Eine solche Anordnung ist möglich, weil das Diagramm zyklenfrei ist. Schleifen, die sich aus der Reflexivität a\leq a ergeben würden, werden ebenfalls weggelassen. Gelegentlich dienen Hasse-Diagramme auch zur Darstellung von Striktordnungen.
Teiler und Partitionen
Die positiven Teiler einer natürlichen Zahl bilden mit der Teilt-Relation \mid eine halbgeordnete Menge, den Teilerverband. Das zugehörige Hasse-Diagramm wird auch Teilerbild genannt. Als Beispiel nennt der Artikel das Diagramm der positiven Teiler von 60.
Ein weiteres Beispiel ist die Menge aller Partitionen von \{1,2,3,4\}. Eine Partition zerlegt die Menge in nicht leere, paarweise getrennte Teilmengen. Die verwendete Halbordnung lautet „ist feiner als“.
Potenzmengen im Hasse-Diagramm
Die Potenzmenge einer n-elementigen Menge enthält alle ihre Teilmengen und besitzt genau 2^n Elemente. Mit der Mengeninklusion \subseteq bildet sie eine Halbordnung, die sich als Hasse-Diagramm darstellen lässt. Jede Teilmenge ist ein Knoten. Ganz unten steht die leere Menge \emptyset, weil sie Teilmenge aller Elemente der Potenzmenge ist. Ganz oben steht die ursprüngliche Gesamtmenge, die alle dargestellten Teilmengen enthält.
Übersichtlich ist eine Schichtung nach der Anzahl der enthaltenen Elemente: Mengen gleicher Größe werden auf derselben Ebene angeordnet. Innerhalb jeder Ebene ist eine lexikographische Reihenfolge von links nach rechts üblich und empfehlenswert. Ein kleines Beispiel bildet die Potenzmenge von \{x,y,z\}.
Darstellungsvarianten
Die Potenzmenge einer vierelementigen Menge besitzt 2^4=16 Elemente und ist besonders für Aussagenlogik und Mengenlehre bedeutsam. Eine naheliegende Darstellung nach der Anzahl der Elemente zeigt den rhombendodekaedrischen dreidimensionalen Schatten des vierdimensionalen Würfels.
Daneben sind andere Hasse-Diagramme derselben Potenzmenge möglich. Je nach Zweck können sie geeigneter sein als die übliche Schichtung. Es gibt keine grafische Darstellung, die für alle Fragestellungen gleichermaßen ideal ist; deshalb muss für ein bestimmtes Thema häufig eine passende Anordnung gefunden werden.