Teilerbild

Begriff und Grundprinzip

Ein Teilerbild, auch Teilerdiagramm genannt, stellt alle Teiler einer Zahl nach einem festen Schema dar. Es ist eine spezielle Variante des Hasse-Diagramms. Besonders wichtig sind dabei die Primfaktoren, also die Primzahlen, aus denen sich die betrachtete Zahl durch Multiplikation zusammensetzt.

Die Teiler werden in Reihen angeordnet. Ganz unten steht immer die 1. In der zweiten Reihe stehen die verschiedenen Primfaktoren der Zahl. Danach folgen die Teiler, die aus zwei, drei, vier oder mehr Primfaktoren zusammengesetzt sind. Ganz oben steht die betrachtete Zahl selbst.

Zahlen in benachbarten Reihen werden durch Linien verbunden, wenn sie Teiler beziehungsweise Vielfache voneinander sind. Jede Linienart steht für die Multiplikation mit einem bestimmten Primfaktor. Dadurch zeigt jeder Weg von der 1 zur obersten Zahl eine mögliche Reihenfolge ihrer Primfaktoren.

Aufbau am Beispiel 18

Die Primfaktorzerlegung von 18 lautet 2 · 3 · 3. Das Teilerbild besitzt daher vier Reihen:

• In der ersten Reihe steht 1.
• In der zweiten Reihe stehen 2 und 3.
• In der dritten Reihe stehen 6 = 2 · 3 und 9 = 3 · 3.
• In der vierten und obersten Reihe steht 18.

Im Beispiel bedeuten blaue Linien eine Multiplikation mit 2 und rote Linien eine Multiplikation mit 3. Jeder Weg von 1 zu 18 enthält deshalb genau eine blaue und zwei rote Linien. Die Primfaktoren können dabei in verschiedenen Reihenfolgen auftreten: 2 · 3 · 3, 3 · 3 · 2 oder 3 · 2 · 3.

Erstellung mit der Primfaktorzerlegung

Zuerst wird die Zahl in Primfaktoren zerlegt. Anschließend schreibt man die 1 in die unterste Reihe und die verschiedenen Primfaktoren in die zweite Reihe. Die Verbindungen von der 1 zu diesen Primfaktoren erhalten jeweils die Bedeutung „multipliziere mit diesem Primfaktor“.

Weitere Reihen entstehen, indem man die vorhandenen Teiler jeweils mit einem noch verfügbaren Primfaktor multipliziert. Ein Primfaktor darf auf einem Weg nur so oft verwendet werden, wie er in der Primfaktorzerlegung vorkommt.

Bei 18 führt von 3 eine Multiplikation mit 2 zu 6 und eine weitere Multiplikation mit 3 zu 9. Von 2 führt die Multiplikation mit 3 ebenfalls zu 6. Eine erneute Multiplikation von 2 mit 2 ist nicht erlaubt, weil der Primfaktor 2 in 18 nur einmal vorkommt. Von 9 darf anschließend nur noch mit 2 multipliziert werden: 9 · 2 = 18. Von 6 darf nur noch ein weiterer Faktor 3 folgen: 6 · 3 = 18.

Spielerische Erstellung

Bei der spielerischen Methode wird ebenfalls zuerst die Primfaktorzerlegung bestimmt. Jeder Primfaktor wird auf ein eigenes Kärtchen geschrieben; mehrfach vorkommende Faktoren erhalten mehrere Kärtchen. Für 18 gibt es daher ein Kärtchen mit 2 und zwei Kärtchen mit 3.

Das Bild beginnt mit der 1. In die zweite Reihe kommen alle unterschiedlichen Zahlen, die auf den Kärtchen stehen. Mehrfach vorhandene Primfaktoren werden dort nur einmal eingetragen.

Für die dritte Reihe zieht man jeweils zwei Kärtchen und multipliziert deren Zahlen. Durch wiederholtes Ziehen erhält man für 18 die Ergebnisse 6 = 3 · 2 und 9 = 3 · 3. Die 4 = 2 · 2 kann nicht entstehen, weil nur ein Kärtchen mit 2 vorhanden ist; sie ist auch kein Teiler von 18. Für die vierte Reihe werden drei Kärtchen gezogen und multipliziert. Da dabei alle Kärtchen verwendet werden, entsteht 18. Zuletzt verbindet man Zahlen in benachbarten Reihen, wenn die eine ein Teiler oder Vielfaches der anderen ist.

Struktur, Umformung und räumliche Darstellung

Ein Teilerbild wird übersichtlicher, wenn alle Linien derselben Rechenoperation, etwa alle „×2“-Linien, dieselbe Richtung und Länge besitzen. So entsteht ein strukturiertes Teilerbild. Daraus kann eine Rechenschablone in Form eines „X“ abgeleitet werden: Legt man sie auf eine Zahl, zeigen die Linienenden die zugehörigen Ergebnisse.

Aus dem Teilerbild einer großen Zahl lässt sich das Bild eines ihrer Teiler gewinnen, indem nicht benötigte Zahlen gestrichen werden. Für das Teilerbild von 180 kann man beispielsweise vom Bild der 360 ausgehen und 360, 120, 40, 72, 24 und 8 entfernen.

Umgekehrt kann das Bild einer kleinen Zahl verlängert werden, wenn die größere Zahl ein Vielfaches der kleineren ist. Für 720 wird das Bild von 360 erweitert. Über 8 wird etwa eine blaue Linie zur 16 ergänzt, entsprechend 8 · 2 = 16; vergleichbare Erweiterungen erfolgen bei 360, 120, 40, 72 und 24.

Bei Zahlen mit mehr als zwei verschiedenen Primfaktoren kreuzen sich schnell viele Linien. Das Teilerbild kann dann als räumliches Modell, zum Beispiel aus Kugeln und Stäbchen, gebaut werden. Beim Teilerbild von 360 lässt sich dabei eine quaderartige Struktur erkennen.