Harshad-Zahl

Grundidee

Eine Harshad-Zahl oder Niven-Zahl ist eine natürliche Zahl, die durch ihre Quersumme teilbar ist. Die Quersumme ist die Summe ihrer Ziffern; die Grunddefinition bezieht sich auf das Dezimalsystem mit Basis 10.

Um zu prüfen, ob eine Zahl eine Harshad-Zahl ist, bildet man ihre Quersumme und untersucht, ob bei der Division der Zahl durch diese Summe kein Rest bleibt. Beispielsweise ist 777 eine Harshad-Zahl, denn ihre Quersumme beträgt 7+7+7=21 und 777=21·37.

Beispiele im Dezimalsystem

Die Folge beginnt mit 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 12, 18, 20, 21, 24, 27, 30, 36, 40, 42, 45, 48, 50, 54, 60, 63, 70, 72, 80, 81, 84, 90, 100, …

Für jede natürliche Zahl n kann man auch nach dem kleinsten Faktor k fragen, für den k·n eine Harshad-Zahl ist, oder nach dem kleinsten k, für den k·n keine Harshad-Zahl ist. Beispiele für Harshad-Produkte sind 10·11=110 und 9·13=117. Beispiele für Produkte, die keine Harshad-Zahlen sind, sind 11·1=11, 7·2=14 und 5·3=15.

Zahlen in anderen Basen

Betrachtet man Zahlen in einer Basis n, heißen sie n-Harshad-Zahlen oder n-Niven-Zahlen. Dabei wird die Quersumme aus den Ziffern in dieser Basis gebildet und die Teilbarkeit ebenfalls für die so dargestellte Zahl geprüft.

In Basis 12 stehen A für 10 und B für 11. Die Zahl 172 ist zur Basis 10 keine Harshad-Zahl: Ihre Quersumme ist 1+7+2=10, aber 10 teilt 172 nicht. Dagegen ist 172₁₂ eine n-Harshad-Zahl zur Basis 12. Sie entspricht dezimal 1·12²+7·12+2=230; ihre Quersumme ist 1+7+2=A₁₂, also 10. Es gilt 172₁₂=A₁₂·1B₁₂ beziehungsweise 230=10·23.

Alle ganzen Zahlen zwischen 0 und der Basis n sind n-Harshad-Zahlen.

Regelmäßigkeiten und Häufigkeit

Jede dreistellige Dezimalzahl der Form nnn mit einer Ziffer n von 1 bis 9 ist eine Harshad-Zahl. Denn nnn=n·111=n·(3·37)=(3n)·37, während ihre Quersumme 3n beträgt. Somit ist nnn das 37-Fache seiner Quersumme.

Im Dezimalsystem gibt es keine 21 aufeinander folgenden Harshad-Zahlen, aber unendlich viele Folgen aus 20 aufeinander folgenden Harshad-Zahlen. Die kleinste solche Folge beginnt erst bei einer Zahl größer als 10^44363342786. Allgemein gibt es zur Basis n keine 2n+1 aufeinander folgenden n-Harshad-Zahlen, aber unendlich viele Folgen aus 2n aufeinander folgenden Harshad-Zahlen.

Sei N(x) die Anzahl der Harshad-Zahlen ≤ x und ε>0. Dann gilt x^(1−ε) ≪ N(x) ≪ x·log log x/log x. Unter 100000 gibt es genau 11872 Harshad-Zahlen. Weitere angegebene Werte sind N(10)=10, N(100)=33, N(1000)=213, N(10^4)=1538, N(10^6)=95428 und N(10^9)=61574510.

Nivenmorphe Zahlen

Eine nivenmorphe oder harshadmorphe Zahl für eine Basis n ist nach der Definition im Artikel eine ganze Zahl t, zu der eine Harshad-Zahl N existiert, deren Quersumme t ist und die durch t teilbar ist; t wird dabei in der jeweiligen Basis geschrieben.

Zur Basis 10 ist 18 ein Beispiel: N=16218 hat die Quersumme 1+6+2+1+8=18 und 16218=18·901. Auch 35 ist nivenmorph, denn 289835 hat die Quersumme 35 und 289835=35·8281.

Der Artikel nennt als Eigenschaften: In Basis 10 sind alle positiven ganzen Zahlen außer 11 nivenmorph. Für eine Basis n>1 sind alle positiven geraden ganzen Zahlen außer n+1 sowie alle positiven ungeraden ganzen Zahlen nivenmorph.

Multiple Harshad-Zahlen

Eine multiple Harshad-Zahl ist eine Harshad-Zahl, bei der das Teilen durch die Quersumme wieder zu einer anderen Harshad-Zahl führt. Dieser Vorgang kann mehrfach wiederholt werden. Die Bezeichnung MHN-k bedeutet, dass sich auf diese Weise k verschiedene weitere Harshad-Zahlen bilden lassen.

6804 ist eine MHN-4: 6804/18=378, 378/18=21, 21/3=7 und 7/7=1; alle dabei entstehenden Zahlen sind Harshad-Zahlen. Als MHN-12 werden unter anderem 2016502858579884466176 mit erster Quersumme 108 sowie 10080000000000=1008·10^10 genannt. Allgemein ist 1008·10^n eine MHN-(n+2).