Fröhliche Zahl

Grundidee und Iteration

Eine fröhliche Zahl ist im Dezimalsystem eine natürliche Zahl n∈ℕ, für die eine wiederholt angewendete Rechenvorschrift nach endlich vielen Schritten den Wert 1 ergibt. Dazu schreibt man n mit seinen Ziffern aᵢ als n=∑ᵢ₌₀ᵐaᵢ·10ⁱ, wobei 0≤aᵢ≤9, und bildet die Summe ihrer Quadrate: s=∑ᵢ₌₀ᵐaᵢ². Mit s wird dieselbe Vorschrift erneut ausgeführt. Sobald 1 erreicht ist, bleiben alle folgenden Werte 1.

Beispiel: 19→1²+9²=82→8²+2²=68→6²+8²=100→1²+0²+0²=1. Auch 2026 ist fröhlich: 2026→44→32→13→10→1.

Zyklus und wichtige Eigenschaften

Eine Zahl, die nicht zu 1 führt, gelangt im Dezimalsystem in den einzigen achtgliedrigen periodischen Zyklus 4→16→37→58→89→145→42→20→4. Weitere Zyklen existieren nicht. Der Grundgedanke des Beweises: Für eine k-stellige Zahl gilt s≤81k. Ab n≥1000 wird der nächste Wert dadurch kleiner; durch weitere Abschätzungen gelangt jede Folge schließlich unter 100. Die Zahlen von 1 bis 99 führen dann entweder zu 1 oder in diesen Zyklus.

Es gibt unendlich viele fröhliche Zahlen, denn jede Zahl 10ᵏ mit k∈ℕ führt sofort auf 1. Das Einfügen oder Entfernen von Nullen und jede Vertauschung der Ziffern einer fröhlichen Zahl erhält die Fröhlichkeit, weil die Summe der Ziffernquadrate gleich bleibt. Außerdem gibt es für jedes m∈ℕ mindestens ein (m+1)-Tupel aufeinanderfolgender fröhlicher Zahlen. Das erste Paar ist 31 und 32, das erste Tripel 1880, 1881, 1882. Die Zahlen 10ᵏ+3 und 10ᵏ+9 für k>0 sind ebenfalls fröhlich.

Keine Zahl außer 1 ist gleich der Summe der Quadrate ihrer eigenen Ziffern. Unter den Zahlen bis einschließlich 1000 gibt es 143 fröhliche Zahlen.

Traurige Zahlen und fröhliche Primzahlen

Natürliche Zahlen, die nicht fröhlich sind, heißen traurige oder nichtfröhliche Zahlen. Sie enden im genannten Zyklus; etwa 4→16→37→58→89→145→42→20→4. Auch 99 ist traurig und erreicht über 162, 41, 17, 50, 25, 29 und 85 den Zyklus. Es gibt unendlich viele traurige Zahlen: Alle Zahlen der Form 2·10ᵏ mit k∈ℕ führen in einem Schritt zu 4.

Eine fröhliche Primzahl ist eine Primzahl, die zugleich fröhlich ist. Die kleinsten sind 7, 13, 19, 23, 31, 79 und 97. 1729 ist das Produkt der ersten drei fröhlichen Primzahlen. Alle Primzahlen der Formen p=10ᵏ+3 oder p=10ᵏ+9 mit k>0 sind fröhliche Primzahlen. Eine Ziffernvertauschung erhält zwar die Fröhlichkeit der Zahl, aber nicht unbedingt ihre Primzahleigenschaft: Aus der fröhlichen Primzahl 19 wird 91, eine fröhliche Nichtprimzahl.

Stand 26. Oktober 2024 war M₁₃₆₂₇₉₈₄₁=2¹³⁶²⁷⁹⁸⁴¹−1 mit 41.024.320 Stellen die möglicherweise 52. Mersenne-Primzahl und größte bekannte Primzahl; sie ist fröhlich, denn sie führt über 1169061131, 167, 86 und 100 zu 1. Sie wurde am 21. Oktober 2024 von Luke Durant entdeckt. Die möglicherweise 51. Mersenne-Primzahl M₈₂₅₈₉₉₃₃ führt dagegen in den Zyklus und wird als größte bekannte traurige Primzahl bezeichnet.

Andere Zahlensysteme

Die Definition lässt sich auf jede Basis b übertragen: Eine Zahl ist zur Basis b fröhlich, wenn die wiederholte Summe der Quadrate ihrer Basis-b-Ziffern bei 1_b=1 endet. Beispielsweise ist 111₂=7 fröhlich, denn 111₂→11₂→10₂→1₂. Für jede Basis sind alle Zahlen der Form 10_bᵏ mit k∈ℕ₀ fröhlich.

Zur Basis 2 sind alle Zahlen fröhlich; deshalb heißt 2 eine fröhliche Basis. Die einzigen bekannten fröhlichen Basen sind 2 und 4; unter 500.000.000 sind keine weiteren bekannt. Eine traurige Zahl zur Basis b führt dagegen in einen Zyklus. Für b≥5 bleiben Folgen nach Erreichen eines Werts unter 1000_b dort, denn bei n<1000_b gilt s≤3·(b−1)²<b³.

In Basis 12 gibt es die Fixpunkte 1₁₂=1, 25₁₂=29 und A5₁₂=125 sowie vier Zyklen; zwischen 10₁₂=12 und 100₁₂=144 gibt es keine fröhlichen Zahlen. In Basis 16 gibt es als Fixpunkt nur 1₁₆ und den sechsgliedrigen Zyklus D₁₆→A9₁₆→B5₁₆→92₁₆→55₁₆→32₁₆→D₁₆.

Verallgemeinerung mit höheren Potenzen

Statt der Quadrate können im Dezimalsystem die m-ten Potenzen der Ziffern addiert werden. Eine Zahl ist dann verallgemeinert fröhlich, wenn diese Iteration 1 erreicht. Für m=3 ist 1579 fröhlich: 1579→1198→1243→100→1. Dagegen ist 99 nichtfröhlich: 99→1458→702→351→153→153.

Bei m=3 gilt für n>2916, dass die Summe der Ziffernkuben kleiner als n ist. Denn für eine k-stellige Zahl ist sie höchstens 729k; bei Zahlen ab 10000 ist 729k<10ᵏ⁻¹≤n. Nichtfröhliche Folgen mit m=3 enden in einem der Fixpunkte 153, 370, 371 oder 407 oder in einem der Zyklen 133→55→250→133, 217→352→160→217, 1459→919→1459 und 136→244→136. Die einzigen Zahlen, die gleich der Summe der dritten Potenzen ihrer Ziffern sind, lauten 0, 1, 153, 370, 371 und 407.

Für m=4 nennt der Artikel für 1≤n≤100 die Fixpunkte 1634, 8208 und 9474 sowie einen Zyklus der Länge 7, beginnend bei 13139, und den Zweierzyklus 6514→2178→6514.