Glückliche Zahl

Begriff und Siebverfahren

Glückliche Zahlen sind positive natürliche Zahlen, die durch ein bestimmtes Siebverfahren entstehen. Es ähnelt dem Sieb des Eratosthenes zur Bestimmung von Primzahlen, zählt beim Streichen aber nur die Zahlen mit, die noch nicht entfernt wurden.

Man beginnt mit einer Liste aller positiven natürlichen Zahlen. Anschließend durchläuft man die verbleibenden Zahlen, beginnend mit x = 2. Für jedes aktuelle x wird jede x-te noch vorhandene Zahl gestrichen. Bereits gestrichene Zahlen werden beim Abzählen nicht berücksichtigt. Auch bei der Wahl des nächsten Wertes x überspringt man alle zuvor gestrichenen Zahlen. Glücklich heißen genau diejenigen Zahlen, die bei diesem unbegrenzt fortgesetzten Verfahren nie gestrichen werden.

Ablauf an den ersten Schritten

Im ersten Schritt gilt x = 2. Jede zweite Zahl wird gestrichen, sodass alle geraden Zahlen verschwinden.

Die nächste noch vorhandene Zahl nach 2 ist x = 3. Nun wird jede dritte Zahl unter den verbliebenen Zahlen entfernt. Da nur noch ungerade Zahlen in der Liste stehen, werden die schon gestrichenen geraden Zahlen beim Zählen übersprungen.

Nach diesem Schritt ist die nächste maßgebliche Zahl x = 7; deshalb wird jede siebte noch vorhandene Zahl gestrichen. Danach folgt x = 9, sodass jede neunte verbliebene Zahl entfernt wird. Als Nächstes streicht man jede 13. Zahl und setzt das Verfahren entsprechend fort.

Die Folge beginnt mit: 1, 3, 7, 9, 13, 15, 21, 25, 31, 33, 37, 43, 49, 51, 63, 67, 69, 73, 75, 79, 87, 93, 99, 105, 111, 115, 127, 129, 133, 135, 141, 151, 159, 163, 169, 171, 189, 193, 195, 201, 205, 211, 219, 223, 231, 235, 237, 241, 259, 261, 267, 273, 283, 285, 289, 297, …

Diese Zahlenfolge wird in der Online-Enzyklopädie OEIS unter A000959 geführt.

Mathematische Eigenschaften

Es gibt unendlich viele glückliche Zahlen.

Sei L_n die n-te glückliche Zahl und p_n die n-te Primzahl. Für ausreichend große n gilt:

L_n > p_n.

Ab einem gewissen Index ist die n-te glückliche Zahl somit stets größer als die n-te Primzahl.

Trotzdem haben glückliche Zahlen und Primzahlen langfristig eine vergleichbare Häufigkeit. Sei g(n) die Anzahl der glücklichen Zahlen, die kleiner oder gleich n sind. Ihre Zählfunktion ist asymptotisch äquivalent zu n/ln(n). „Asymptotisch äquivalent“ bedeutet hier, dass sich das Verhältnis beider Ausdrücke für immer größere n dem Wert 1 nähert:

lim_(n→∞) g(n)/(n/ln(n)) = 1.

Diese Aussage entspricht in ihrer Form dem Primzahlsatz, der die langfristige Verteilung der Primzahlen beschreibt.

Primzahlen unter den glücklichen Zahlen

Eine glückliche Primzahl ist eine Primzahl p ∈ ℙ, die zugleich eine glückliche Zahl ist. Die glücklichen Primzahlen unter 1000 sind:

3, 7, 13, 31, 37, 43, 67, 73, 79, 127, 151, 163, 193, 211, 223, 241, 283, 307, 331, 349, 367, 409, 421, 433, 463, 487, 541, 577, 601, 613, 619, 631, 643, 673, 727, 739, 769, 787, 823, 883, 937, 991, 997.

Diese Folge wird in der OEIS unter A031157 geführt. Ob es unendlich viele glückliche Primzahlen gibt, ist unbekannt. Außerdem gibt es für glückliche Primzahlen eine Vermutung, die zur Goldbachschen Vermutung analog ist; der Artikel nennt dazu keine genauere Formulierung.