Harnack-Ungleichung

Grundidee der Harnack-Ungleichungen

Harnack-Ungleichungen sind Abschätzungen für obere Schranken von Lösungen verschiedener Differentialgleichungen. Im klassischen Fall der Wärmeleitungsgleichung beschränken sie, wie stark sich Wärme diffundieren kann. Sie vergleichen dabei insbesondere große und kleine Werte einer nichtnegativen Lösung auf demselben Gebiet.

Klassische Harnack-Ungleichung

Sei u\colon M\times[0,T]\rightarrow[0,\infty) eine nichtnegative Lösung der Wärmeleitungsgleichung

\partial u/\partial t=\Delta u,

wobei \Delta der Laplace-Operator auf der kompakten Riemannschen Mannigfaltigkeit M ist. Dann gibt es eine nur von M abhängige Konstante C mit

\sup_{x\in M}u(x,t)\leq C\inf_{x\in M}u(x,t)

für alle 0\leq t\leq T. Das heißt: Zu jedem festen Zeitpunkt kann der größte Wert der Lösung höchstens um den Faktor C größer sein als ihr kleinster Wert. Die optimale Konstante C in Abhängigkeit von der Geometrie von M zu bestimmen, ist schwierig.

Folgerung für harmonische Funktionen

Für jede nichtnegative harmonische Funktion u\colon M\rightarrow[0,\infty) gilt ebenfalls

\sup_{x\in M}u(x)\leq C\inf_{x\in M}u(x).

Eine harmonische Funktion ist hier eine Funktion, für die der Laplace-Operator verschwindet. Auch ihre Werte können auf M also nur in dem durch C begrenzten Verhältnis auseinanderliegen.

Beispiel im euklidischen Ball

Sei M=B(x_0,R)\subset\mathbb{R}^n ein Ball mit Mittelpunkt x_0 und Radius R. Für jede nichtnegative harmonische Funktion u\colon B(x_0,R)\rightarrow[0,\infty) mit stetigen Randwerten gilt für x\in B(x_0,R):

\frac{1-(r/R)}{[1+(r/R)]^{n-1}}u(x_0)\leq u(x)\leq\frac{1+(r/R)}{[1-(r/R)]^{n-1}}u(x_0),

wobei r=\lVert x-x_0\rVert ist. Die Werte von u werden somit durch ihren Wert im Mittelpunkt und den Abstand r vom Mittelpunkt kontrolliert.

Daraus ergibt sich die Harnack-Ungleichung für diesen Ball mit

C=\frac{1+(r/R)}{[1-(r/R)]^{n-1}}\frac{[1+(r/R)]^{n-1}}{1-(r/R)}.

Differentielle Harnack-Ungleichung

Sei M eine n-dimensionale Riemannsche Mannigfaltigkeit mit nichtnegativer Ricci-Krümmung und konvexem Rand. Dann gilt für jede positive Lösung u der Wärmeleitungsgleichung:

\frac{\partial_tu}{u}-\frac{|\nabla u|^2}{u^2}+\frac{n}{2t}\geq0.

Dabei ist \nabla u der Gradient, also die Richtung und Stärke der stärksten Änderung von u. Aus dieser differentiellen Ungleichung lassen sich häufig optimale Konstanten für die klassische Harnack-Ungleichung herleiten.