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Gromoll-Meyer-Sphäre
In der Mathematik ist die Gromoll-Meyer-Sphäre ein Beispiel einer exotischen Sphäre, d. h. einer nicht zur Standard-Differentialstruktur äquivalenten …
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Bedeutung und zentrale Eigenschaften
Die Gromoll-Meyer-Sphäre ist ein Beispiel einer exotischen Sphäre. Damit ist eine Sphäre mit einer Differentialstruktur gemeint, die nicht zur Standard-Differentialstruktur äquivalent ist. Allgemeiner ist eine exotische Sphäre eine differenzierbare Mannigfaltigkeit, die homöomorph, aber nicht diffeomorph zur Einheitssphäre im ℝⁿ ist. Homöomorph bedeutet, dass die topologischen Eigenschaften übereinstimmen; diffeomorph bedeutet zusätzlich, dass die differenzierbare Struktur übereinstimmt.
Die Gromoll-Meyer-Sphäre ist 7-dimensional. Sie entspricht dem Erzeuger der Gruppe der 7-dimensionalen Homotopiesphären, also dem Element, das dieser Gruppe zugrunde liegt und aus dem sich die Gruppe erzeugt. Außerdem war sie das erste Beispiel einer exotischen Sphäre, auf der eine Riemannsche Metrik mit nichtnegativer Schnittkrümmung gefunden wurde. Die Schnittkrümmung beschreibt dabei die Krümmung zweidimensionaler Richtungen in einer Riemannschen Mannigfaltigkeit.
Historischer und mathematischer Kontext
John Milnor konstruierte 1956 die ersten Beispiele exotischer Sphären. Er verwendete dafür S³-Bündel über S⁴, die als Milnor-Sphären bezeichnet werden. Für die 7-dimensionale Sphäre zeigte er, dass es 28 verschiedene Differentialstrukturen gibt. Die Kervaire-Milnor-Gruppe der 7-dimensionalen Homotopiesphären ist modulo h-Kobordismus isomorph zu ℤ/28ℤ.
Die S³-Bündel über S⁴ entsprechen dabei 21 Elementen der Menge {0, 1, …, 10, 18, …, 28}. Ein Bündel mit Euler-Zahl 1 und Pontrjagin-Zahl 8k + 2 entspricht dem Element k mod 28 in ℤ/28ℤ.
Egbert Brieskorn zeigte 1966, dass sich die Milnor-Sphären auch als Verschlingungen von Singularitäten von Hyperflächen im ℂ⁵ beschreiben lassen. Sie entstehen als Schnitt der Hyperfläche
a² + b² + c² + d³ + e^(6k−1) = 0
mit einer kleinen Sphäre um den Nullpunkt.
Gromoll und Meyer konstruierten 1974 den Erzeuger, also das dem Fall k = 1 entsprechende Element der Gruppe der Homotopiesphären, als Biquotient der Gruppe Sp(2). Dadurch erhielten sie zugleich das erste Beispiel einer Riemannschen Metrik nichtnegativer Schnittkrümmung auf einer exotischen Sphäre. Grove und Ziller bewiesen 2000, dass auch die anderen Milnor-Sphären Metriken nichtnegativer Schnittkrümmung besitzen. Duran, Püttmann und Rigas entwickelten 2010 aus der Gromoll-Meyer-Konstruktion eine Konstruktion aller exotischen 7-Sphären.
Konstruktion als Biquotient
Für die Konstruktion wird Sp(2) verwendet. Diese kompakte symplektische Gruppe besteht aus den ℍ-linearen Abbildungen des zweidimensionalen quaternionischen Vektorraums ℍ², die das kanonische Skalarprodukt erhalten. Außerdem gilt Sp(1) ≃ S³; Sp(1) ist die Gruppe der Quaternionen mit Norm 1.
Die Gruppe Sp(1) × Sp(1) wirkt auf Sp(2) durch
(q₁, q₂) ∘ Q = [[q₁, 0], [0, q₁]] Q [[q̄₂, 0], [0, 1]].
Diese Wirkung ist frei, das heißt, kein von der Identität verschiedener Gruppeneintrag lässt einen Punkt fest. Der Quotient dieser Wirkung ist S⁴. Insbesondere wirkt auch die Diagonale Δ = {(q, q) ∈ Sp(1) × Sp(1)} frei auf Sp(2).
Gromoll und Meyer bewiesen, dass der Quotient Δ\Sp(2) diffeomorph zur Milnor-Sphäre mit k = 1 ist. Dieser Quotient ist die Gromoll-Meyer-Sphäre und stellt sie als Biquotient dar, also als Quotientenraum, bei dem eine Gruppe von links und rechts auf einer Gruppemannigfaltigkeit wirkt.
Aus der O’Neill-Formel folgt, dass Δ\Sp(2) nichtnegative Schnittkrümmung und positive Ricci-Krümmung besitzt. Die Ricci-Krümmung ist eine weitere, aus der Schnittkrümmung zusammengefasste Krümmungsgröße. Die Metrik kann so deformiert werden, dass die Schnittkrümmung fast überall positiv wird.