GHZ-Zustand

Begriff und Definition

Ein GHZ-Zustand (Greenberger-Horne-Zeilinger-Zustand) ist ein maximal verschränkter Quantenzustand von mindestens drei Teilchen. Verschränkung bedeutet hier, dass sich die Messergebnisse der beteiligten Teilchen nicht unabhängig voneinander beschreiben lassen. GHZ-Zustände sind wichtig, weil sie einen besonders deutlichen Widerspruch zwischen der Quantenmechanik und lokal-realistischen Beschreibungen zeigen. Außerdem repräsentieren sie eine wichtige Klasse verschränkter Vielteilchenzustände in der Quanteninformatik und ermöglichen besonders empfindliche Messungen in der Quantenmetrologie.

Der ursprüngliche GHZ-Zustand besteht aus drei Zwei-Zustandssystemen, sogenannten Qubits:

|GHZ⟩₃ = 1/√2 (|000⟩ + |111⟩).

Allgemein lautet ein GHZ-Zustand aus M Qubits:

|GHZ⟩ₘ = 1/√2 (|0⟩^⊗M + |1⟩^⊗M) = 1/√2 (|0…0⟩ + |1…1⟩).

Der Zustand ist somit eine gleichgewichtete Überlagerung aus zwei Möglichkeiten: Entweder befinden sich alle Qubits im Zustand |0⟩ oder alle im Zustand |1⟩. Der Faktor 1/√2 sorgt für die korrekte Normierung. Das Symbol ⊗M bedeutet, dass derselbe Zustand für M Qubits als Tensorprodukt zusammengesetzt wird.

Häufig bezeichnet man auch Zustände als GHZ-Zustände, die daraus durch lokale unitäre Operationen entstehen. Dabei wird jedes Teilsystem für sich verändert, ohne die Verschränkung zwischen den Teilchen aufzuheben. Diese Zustände gehören zur LU-Klasse der GHZ-Zustände und besitzen hinsichtlich ihrer Verschränkung dieselben Eigenschaften wie |GHZ⟩ₘ.

Verschränkung und Zustandsklassen

Für Systeme aus drei oder mehr Teilchen existieren unterschiedliche Maße der Verschränkung. Der Drei-Qubit-Zustand |GHZ⟩₃ ist im Sinne des Verschränkungsmaßes „residual tangle“ maximal verschränkt. Der GHZ-Zustand aus M Qubits maximiert außerdem die Quanten-Fisherinformation, ein Maß dafür, wie empfindlich ein Quantenzustand auf die Änderung eines zu bestimmenden Parameters reagiert.

„Maximal verschränkt“ bedeutet jedoch nicht, dass sich der GHZ-Zustand durch lokale Operationen in jeden anderen reinen Drei-Qubit-Zustand umwandeln lässt. Eine solche Umwandlung ist nicht einmal probabilistisch immer möglich. Der GHZ-Zustand ist vielmehr der namensgebende Vertreter einer von zwei Klassen reiner Drei-Qubit-Zustände, die durch lokale Operationen nicht ineinander überführt werden können.

Widerspruch zum lokalen Realismus

Im GHZ-Experiment erzeugt die Verschränkung Korrelationen zwischen Messergebnissen, die sich nicht durch lokale verborgene Variablen erklären lassen. Eine Theorie mit verborgenen Variablen nimmt an, dass noch unbekannte Eigenschaften der Teilchen die Messergebnisse bereits festlegen. „Lokal“ bedeutet dabei, dass eine Handlung an einem Ort nicht unmittelbar die physikalische Realität an einem räumlich getrennten Ort beeinflusst.

Der GHZ-Zustand erlaubt eine besonders direkte Gegenüberstellung von Quantenmechanik und lokalem Realismus. Beim Bell-Test zeigt die Verletzung einer Bellschen Ungleichung, dass lokal-realistische Vorhersagen nicht mit den quantenmechanischen Ergebnissen übereinstimmen. Beim GHZ-Experiment genügt dagegen ein konkretes Messresultat: Nach lokal-realistischen Annahmen dürfte dieses Ergebnis nicht auftreten, während es von der Quantenmechanik vorhergesagt und im Experiment tatsächlich beobachtet wird.

Das Interesse an diesen Zuständen begann 1989 mit einer Arbeit von Daniel Greenberger, Michael Horne und Anton Zeilinger über einen Vier-Qubit-Zustand. David Mermin sowie Greenberger, Horne und Zeilinger zusammen mit Abner Shimony vereinfachten das Argument kurz darauf mithilfe des Drei-Qubit-GHZ-Zustands.

Katzenzustand und Quantenmetrologie

Für große Werte von M kann der GHZ-Zustand als Modell für die Situation in Schrödingers Gedankenexperiment mit der Katze verstanden werden. Das erste Qubit stellt ein mikroskopisches Quantensystem dar, während die übrigen M−1 Qubits bei M ≫ 1 ein „makroskopisches“ System bilden. Beide Teile sind maximal miteinander verschränkt.

Dabei entspricht das erste Qubit im Zustand |1⟩ dem noch nicht zerfallenen Atomkern und |1⟩^⊗(M−1) der lebenden Katze. Der mit 50 % Wahrscheinlichkeit zerfallene Kern wird durch |0⟩ dargestellt und ist mit |0⟩^⊗(M−1), also der „toten Katze“, korreliert. Der gesamte GHZ-Zustand ist eine kohärente Überlagerung dieser beiden makroskopisch verschiedenen Möglichkeiten. Der Vergleich mit GHZ-Zuständen wurde genutzt, um die „effektive Größe“ experimentell erzeugter Katzenzustände zu definieren. Außerdem lässt sich damit abschätzen, welche Ressourcen nötig sind, um eine solche Überlagerung von einer inkohärenten Mischung ihrer beiden Bestandteile zu unterscheiden.

In der Quantenmetrologie dient der GHZ-Zustand zur besonders genauen Bestimmung von Parametern. Er maximiert die Quanten-Fisherinformation bezüglich der Observablen

Z = Σⱼ₌₁ᴹ Zⱼ,

wobei Zⱼ die Pauli-Matrix σ_z für das j-te Qubit bezeichnet. Unter allen reinen Zuständen maximiert |GHZ⟩ₘ die Varianz von Z und reagiert deshalb besonders empfindlich auf eine durch Z erzeugte Zeitentwicklung.

Wird diese Entwicklung durch θZ mit einem unbekannten reellen Parameter θ erzeugt, kann ein System im Zustand |GHZ⟩ₘ θ besonders genau messen. Die Genauigkeit skaliert mit M, dem sogenannten Heisenberglimit. Bei klassischen Messungen oder quantenmechanischen Messungen ohne Verschränkung mit M Teilchen ist dagegen nur eine Skalierung mit √M optimal.

Ein wesentlicher Nachteil ist die starke Anfälligkeit von GHZ-Zuständen für Dekohärenz, also für den Verlust der quantenmechanischen Kohärenz durch Störungen. Bei nicht verschwindendem Rauschen wird die Skalierung mit M statt √M unterdrückt. In der Praxis ist daher bestenfalls eine konstante Verbesserung gegenüber unverschränkten Zuständen erreichbar.

Experimentelle Erzeugung

Dirk Bouwmeester demonstrierte in der Arbeitsgruppe von Anton Zeilinger erstmals die experimentelle Präparation eines GHZ-Zustands mit Photonen. In diesem Versuch lag der Zustand nur probabilistisch und nach Postselektion vor: Er wurde also nicht bei jedem Durchlauf erzeugt, und nur passend ausgewählte Messergebnisse wurden berücksichtigt.

Noch im selben Jahr wurde mit gefangenen Ionen ein Vier-Qubit-GHZ-Zustand deterministisch präpariert, also gezielt und nicht nur mit einer bestimmten Erfolgswahrscheinlichkeit. Bis 2018 waren GHZ-Zustände mit M = 14 beziehungsweise M = 10 für gefangene Ionen, Photonen und supraleitende Qubits erzeugt worden.