Duodezimalsystem

Grundidee und Vorteile der Basis 12

Das Duodezimalsystem, auch Zwölfersystem oder Unzialsystem, ist ein Stellenwertsystem mit der Basis 12. Es hat zwölf Ziffern; deshalb benötigt man erst ab der natürlichen Zahl zwölf eine zweite Stelle. Die Schreibweise 10 bedeutet dabei ein Dutzend, also 12 im Dezimalsystem, und 0,1 bedeutet ein Zwölftel.

Die Stellenwerte sind Potenzen von 12. Zwölf hat die nichttrivialen Teiler 2, 3, 4 und 6 und ist damit hochzusammengesetzt; zehn hat nur 2 und 5 als nichttriviale Teiler. Daher lassen sich wichtige Brüche im Zwölfersystem kurz und endlich schreiben: 1/4 = 0,3₍12₎, 1/3 = 0,4₍12₎, 1/2 = 0,6₍12₎, 2/3 = 0,8₍12₎ und 3/4 = 0,9₍12₎. Im Dezimalsystem sind 1/3 und 2/3 periodisch. Das System wurde vereinzelt als „optimales Zahlensystem“ bezeichnet.

Ziffern, Schreibweisen und Computer

Neben 0 bis 9 braucht das Duodezimalsystem Zeichen für zehn und elf. Die Dozenal Society of Great Britain verwendet die von Isaac Pitman vorgeschlagenen um 180° gedrehten Ziffern 2 und 3: ↊ für zehn und ↋ für elf. Somit ist 131₍10₎ gleich 23₍12₎, denn 2 · 12 + 3 = 27; mit Ersatzzeichen X und E lautet diese Zahl XE.

Die Zeichen ↊ (U+218A, turned digit two) und ↋ (U+218B, turned digit three) sind seit Unicode 8.0.0 vom Juni 2015 enthalten, jedoch als Sonderzeichen ohne intrinsischen numerischen Wert. Stand 2025 sind sie in zahlreichen Systemschriftarten verfügbar. In LaTeX lassen sie sich mit dem Paket tipx als \textturntwo und \textturnthree darstellen. Viele Umrechnungsprogramme, etwa Excel mit „=BASIS([Zahl]; 12)“, verwenden stattdessen A und B für zehn und elf. Für andere zeitweise von der Dozenal Society of America verwendete Zeichen gibt es Stand September 2025 keinen allgemein verfügbaren Zeichenstandard.

Stellenwerte und Brüche

Wie im Dezimalsystem bestimmt die Position einer Ziffer ihren Wert, nur sind die Stellenwerte 12er-Potenzen statt Zehnerpotenzen. Die Indizes geben die verwendete Basis an. Beispiel:

234₍12₎ = 2 · 12² + 3 · 12¹ + 4 · 12⁰ = 288 + 36 + 4 = 328₍10₎.

Duodezimale Brüche können endlich oder periodisch sein. Endliche Beispiele sind 1/6 = 0,2₍12₎, 1/8 = 0,16₍12₎, 1/9 = 0,14₍12₎ und 1/12 = 0,1₍12₎; auch 1/2, 1/3 und 1/4 enden. Als periodische Beispiele nennt der Artikel 1/5 = 0,2497₍12₎, 1/7 = 0,186↊35₍12₎, 1/10 = 0,1 2497₍12₎ und 1/11 = 0,1₍12₎. Negative Zahlen erhalten wie im Dezimalsystem ein vorangestelltes Minuszeichen.

Rechnen und Teilbarkeit

Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division werden nach denselben Grundalgorithmen wie im Dezimalsystem ausgeführt. Wegen der zwölf Ziffern sind Additionstabelle und kleines Einmaleins größer. Beispielsweise gilt 3 · 4 = 10₍12₎ und ↋ · ↋ = ↋0₍12₎.

Teilbarkeitsregeln sind oft einfach, weil 12 durch 2, 3, 4 und 6 teilbar ist. Eine Zahl ist durch 2 teilbar, wenn ihre letzte Ziffer gerade ist; durch 3 bei letzter Ziffer 0, 3, 6 oder 9; durch 4 bei letzter Ziffer 0, 4 oder 8; durch 6 bei letzter Ziffer 0 oder 6; und durch 10₍12₎ = 12₍10₎ bei letzter Ziffer 0. Durch 11₍10₎ ist sie teilbar, wenn ihre einfache Quersumme durch 11 teilbar ist. Für 11₍12₎ = 13₍10₎ verwendet man die alternierende Quersumme.

Für die zu 12 teilerfremden Teiler 5 und 7 werden gewichtete Quersummen verwendet. Für 5 lautet die periodische Faktorenfolge von rechts (1; 2; −1; −2); 37056₍12₎ ergibt 1·6 + 2·5 − 1·0 − 2·7 + 1·3 = 5 und ist deshalb durch 5 teilbar. Für 7 ist die Folge (1; −2; 4; −1; 2; 3). So ist 1207₍12₎ = 2023₍10₎ durch 7 teilbar, weil 1·7 − 2·0 + 4·2 − 1·1 = 14.

Umrechnen zwischen Basis 12 und Basis 10

Die ersten zwölf duodezimalen Ziffern 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, ↊ und ↋ entsprechen den Dezimalzahlen 0 bis 11. Danach folgt 10₍12₎ = 12₍10₎, 11₍12₎ = 13₍10₎ und 20₍12₎ = 24₍10₎.

Zum Umrechnen vom Duodezimalsystem ins Dezimalsystem addiert man die Ziffernwerte mal den passenden Potenzen von 12. Daher ist 234₍12₎ = 328₍10₎.

Zum Umrechnen einer Dezimalzahl ins Duodezimalsystem teilt man wiederholt durch 12 und liest die Reste von unten nach oben. Für 328₍10₎ gilt: 328 : 12 = 27 Rest 4, 27 : 12 = 2 Rest 3, 2 : 12 = 0 Rest 2. Die Reste ergeben 234₍12₎.

Zahlwörter und Zählen mit Fingergliedern

Mündliche Zahlwortsysteme zur Basis 12 sind selten; belegt sind sie bei Plateau-Sprachen in Nigeria, im Nepalesischen Chepang und in der Sprache Mahl auf dem Atoll Minicoy. Gruppierungen zu zwölf, etwa zwölf Monate, zweimal zwölf Stunden oder alte Maße wie Zoll und Fuß, sind dagegen kein Beleg für ein Duodezimalsystem. Bei römischen Zahlen beruhen Brüche auf der Basis 12; Uncia bezeichnete ein Zwölftel und wurde später zur „Unze“.

Im Deutschen stehen besonders Elf, Zwölf, Dutzend, Gros und Maß als Zahlwörter zur Verfügung. Die Endungen „-zehn“ und „-zig“ wären missverständlich. Vorgeschlagen wird, höherwertige Stellen zuerst zu nennen: ↊ heißt Zehn, ↋ heißt Elf, 10 heißt Zwölf oder (ein) Dutzend, 20 Zweidutzend, 100 Gros und 1000 (ein) Maß. Beispielsweise lautet 2345: „Zweimaßdreigrosvierdutzendfünf“.

Beim Zählen mit Fingergliedern berührt der Daumen der Zählhand die drei Glieder von vier Fingern, vom kleinen Finger bis zum Zeigefinger. Das ermöglicht einhändig das Zählen bis zwölf; die andere Hand kann volle Dutzend festhalten, sodass zweihändig bis 144 (156) gezählt wird. Dieses Verfahren ist unter anderem für Indien, Indochina, Pakistan, Afghanistan, Iran, Türkei, Irak und Ägypten bezeugt.