Evolvente

Grundidee und mathematische Beschreibung

Eine Evolvente, auch Involute, ist eine Kurve aus der Differentialgeometrie. Zu jeder rektifizierbaren Kurve, also einer Kurve mit endlicher Länge, gehört eine Schar von Evolventen. Sie entsteht anschaulich, wenn ein straff gespannter Faden von einer Ausgangskurve abgewickelt wird: Die Bahn der Fadenspitze ist die Evolvente.

Die anfängliche Fadenlänge ist beliebig. Deshalb hat eine Ausgangskurve unendlich viele Evolventen. Diese verlaufen parallel in dem Sinn, dass ihre Normalen jeweils dieselben sind und zwischen zwei Evolventen gleich lang bleiben. Die Normalen der Evolventen sind die Tangenten der Ausgangskurve; diese Ausgangskurve ist somit die Hüllkurve der Evolventennormalen. Die oft gemeinte Kreisevolvente ist nur ein Spezialfall.

Für eine reguläre ebene Kurve c(t) mit nirgends verschwindender Krümmung und einem Anfangsparameter a lautet eine Evolvente:

Cₐ(t) = c(t) − c′(t)/|c′(t)| · ∫ₐᵗ |c′(w)| dw.

Das Integral ist die Länge des abgewickelten Fadens im Intervall [a,t]. Der Faktor c′(t)/|c′(t)| ist der Tangenteneinheitsvektor, also ein Tangentenvektor der Länge 1. Durch Addition einer festen Zahl l₀ zum Integral erhält man eine Evolvente mit um l₀ verlängertem Faden.

Eigenschaften und Vorgehen

Besonders einfach lassen sich die Eigenschaften mit der Bogenlänge s als Parameter beschreiben. Dann gilt |c′(s)| = 1 und c″(s) = κ(s)n(s), wobei κ die Krümmung und n die Einheitsnormale der Ausgangskurve ist. Für die Evolvente gilt:

Cₐ(s) = c(s) − c′(s)(s−a)

und

Cₐ′(s) = −κ(s)n(s)(s−a).

Im Punkt Cₐ(a) ist die Evolvente nicht regulär, denn |Cₐ′(a)| = 0. Außerdem steht ihre Tangente senkrecht auf der Tangente c′(s) der Ausgangskurve. Daher ist die Normale der Evolvente bei Cₐ(s) die Tangente der Ausgangskurve bei c(s).

Alle Evolventen sind Parallelkurven, denn Cₐ(s) = C₀(s) + a c′(s); dabei ist c′(s) eine Einheitsnormale von C₀(s). Zur Berechnung wählt man daher möglichst eine Parameterdarstellung, bei der das nötige Integral eine einfache Stammfunktion hat. Ein geeigneter Anfangsparameter a oder eine Fadenverlängerung l₀ kann die Rechnung vereinfachen. Sind dadurch eine Evolvente und ihre Beschreibung gefunden, ergeben sich die übrigen als Parallelkurven.

Typische Beispiele

Für den Kreis c(t) = (r cos(t), r sin(t)) ist |c′(t)| = r. Seine Evolventen haben die Gleichungen:

X(t) = r(cos(t+a) + t sin(t+a)), Y(t) = r(sin(t+a) − t cos(t+a)).

Sie ähneln einer archimedischen Spirale, sind jedoch keine. Für 0 ≤ t ≤ t₂ beträgt ihre Bogenlänge L = (r/2)t₂².

Die Neilsche Parabel c(t) = (t³/3, t²/2) besitzt bei einer Fadenverlängerung l₀ = 1/3 die Evolvente X(t) = −t/3, Y(t) = t²/6 − 1/3. Nach Elimination des Parameters ergibt sich die Parabel Y = (3/2)X² − 1/3. Alle Evolventen der Neilschen Parabel sind Parallelkurven dieser Parabel; Parallelkurven einer Parabel sind selbst keine Parabeln mehr.

Für die Kettenlinie (t, cosh t) lautet eine Evolvente (t − tanh t, 1/cosh t). Dies ist eine Traktrix; alle Evolventen der Kettenlinie sind Parallelkurven dieser Traktrix.

Für die Zykloide (t − sin t, 1 − cos t) ergibt sich als Evolvente die verschobene Zykloide (t + sin t, 3 + cos t). Alle Evolventen der gegebenen Zykloide sind Parallelkurven dieser Zykloide.

Beziehung zur Evolute

Die Evolute einer Kurve k₀ ist die Kurve ihrer Krümmungsmittelpunkte. Evolute und Evolvente stehen in einer direkten Wechselbeziehung: Jede Kurve ist die Evolute jeder ihrer Evolventen. Daher wird die Evolvente auch Involute genannt.

Als Beispiel ist die Neilsche Parabel (t³/3, t²/2) die Evolute der Parabel y = (3/2)x² − 1/3.

Anwendungen

In der Technik ist die Evolvente wichtig für Zahnräder und Zahnstangen. Bei der Evolventenverzahnung ist der Querschnitt einer Zahnflanke Teil einer Kreisevolvente. Zähne im Eingriff berühren sich dadurch entlang einer geraden Eingriffslinie, der Tangente an die Grundkreise. Die Evolventenform ist leichter herzustellen als die ebenfalls verwendete Zykloidenform der Zahnflanke.

In der Medizin helfen die Evolvente der spiralig gekrümmten Femurcondylen im Kniegelenk und die auf der zugehörigen Evolute liegenden Schnittpunkte transversaler Bewegungsachsen beim Verständnis der Biomechanik des Knies und seiner besonderen Gelenkeigenschaften.

In der Leichtathletik werden die Startlinien einer 400-Meter-Bahn mit Evolventen berechnet. So legen Läuferinnen und Läufer auf Außenbahnen dieselbe Strecke zurück wie auf Innenbahnen. Das betrifft besonders den 200- und 400-Meter-Lauf, Sprintstaffeln und Langstreckenwettbewerbe.