Erweiterte Zufallsvariable

Begriff und Messbarkeit

Eine erweiterte Zufallsvariable ist eine Zufallsvariable, die auch die Werte +∞ und −∞ annehmen darf. Ihr Wertebereich sind die erweiterten reellen Zahlen \overline{\mathbb R}=\mathbb R\cup\{+\infty,-\infty\}, wobei für jedes x\in\mathbb R gilt: -\infty<x<\infty. Reelle Zufallsvariablen sind der Spezialfall, dass X(\Omega)\subseteq\mathbb R gilt.

Auf einem Wahrscheinlichkeitsraum (\Omega,\mathbb A,P) heißt eine Abbildung X:\Omega\to\overline{\mathbb R} erweiterte Zufallsvariable, wenn sie \mathbb A-\mathcal B(\overline{\mathbb R})-messbar ist. Das bedeutet: Für jede borelsche Menge B\in\mathcal B(\overline{\mathbb R}) gehört das Urbild X^{-1}(B) zu \mathbb A. Daher ist P(X\in B)=P(X^{-1}(B)) definiert.

Anders als bei reellen Zufallsvariablen können insbesondere P(X=-\infty) und P(X=+\infty) positiv sein. Die Verteilung von X ist P_X(B):=P(X\in B) für alle B\in\mathcal B(\overline{\mathbb R}). Damit ist (\overline{\mathbb R},\mathcal B(\overline{\mathbb R}),P_X) ein Wahrscheinlichkeitsraum.

Verteilung und Grenzwerte

Die Subverteilungsfunktion einer erweiterten Zufallsvariablen lautet H_X(x):=P(X\leq x) für x\in\mathbb R. Sie beschreibt auch die Wahrscheinlichkeitsmassen an den unendlichen Werten:

• P(X=-\infty)=\lim_{x\to-\infty}H_X(x).
• P(X=+\infty)=1-\lim_{x\to\infty}H_X(x).

Falls P(X=-\infty)=P(X=+\infty)=0, unterscheidet sich X wahrscheinlichkeitstheoretisch nicht von einer reellen Zufallsvariablen X', bei der die unendlichen Werte beispielsweise durch 17 ersetzt werden. Die 17 kann jede reelle Zahl sein, denn P(X'=17)=0. Für jede borelsche Menge B\in\mathcal B(\mathbb R) gilt dann P(X\in B)=P(X'\in B).

Die Klasse erweiterter Zufallsvariablen ist unter punktweiser Konvergenz abgeschlossen: Sind X_n erweiterte Zufallsvariablen auf demselben Wahrscheinlichkeitsraum und gilt X(\omega)=\lim_{n\to\infty}X_n(\omega) für alle \omega\in\Omega, dann ist auch X eine erweiterte Zufallsvariable. Die Begriffe „Zufallsvariable“, „reelle Zufallsvariable“ und „numerische Zufallsvariable“ werden in der Literatur allerdings nicht einheitlich verwendet.

Anwendungen mit unendlichen Zeiten

In der Überlebenszeitanalyse beschreibt eine nichtnegative Zufallsvariable X eine zufällige Lebensdauer. Die Überlebensfunktion ist P(X>x). In biometrischen Anwendungen wird meist angenommen:

\lim_{x\to\infty}P(X>x)=0,

äquivalent zu \lim_{x\to\infty}P(X\leq x)=1. Damit wird ausgeschlossen, dass ein Leben mit positiver Wahrscheinlichkeit unendlich lange dauert.

Bei physikalischen Modellen kann diese Annahme unpassend sein. Für eine Mischung stabiler und instabiler Kohlenstoff-Isotope gilt \lim_{x\to\infty}P(X>x)>0 und damit \lim_{x\to\infty}P(X\leq x)<1: Instabile Isotope zerfallen, stabile Isotope überleben dauerhaft. Dies kann durch P(X=\infty)>0 modelliert werden.

Auch Stoppzeiten werden üblicherweise als erweiterte Zufallsvariablen mit Werten in \mathbb N_0\cup\infty oder [0,\infty] betrachtet. Eine Stoppzeit T heißt endlich, wenn P(T<\infty)=1. In der mathematischen Statistik kann außerdem die Teststatistik eines Tests als messbare Funktion T:(\mathcal X,\mathcal B)\to(\overline{\mathbb R},\mathcal B(\overline{\mathbb R})) definiert werden.

Bedingte Erwartung

Der Erwartungswert wird teils nur als reelle Zahl, teils allgemeiner als erweiterte reelle Zahl definiert. Entsprechend kann eine bedingte Erwartung entweder im engeren Sinn eine reelle Zufallsvariable oder im erweiterten Sinn eine erweiterte Zufallsvariable sein.

Im engeren Sinn werden bedingte Erwartungen, gegeben eine reelle Zufallsvariable oder allgemeiner eine σ-Algebra, nur für integrierbare Zufallsvariablen definiert. Im erweiterten Sinn ist die Definition allgemeiner für quasiintegrierbare Zufallsvariablen möglich.

Grenzwert einer Folge reeller Zufallsvariablen

Erweiterte Zufallsvariablen können Grenzwerte von Folgen reeller Zufallsvariablen darstellen, obwohl diese Folgen nach den üblichen Konvergenzbegriffen nicht gegen eine reelle Zufallsvariable konvergieren.

Beispiel: X_n sei normalverteilt mit Erwartungswert 0 und Standardabweichung n. Dann ist F_n(x)=P(X_n\leq x)=\Phi(x/n), wobei \Phi die Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung ist. Für jedes x\in\mathbb R gilt \lim_{n\to\infty}P(X_n>x)=1/2 sowie \lim_{n\to\infty}P(X_n<x)=1/2. Außerdem gilt für jedes x\in(0,\infty): \lim_{n\to\infty}P(|X_n|\leq x)=0.

Die Wahrscheinlichkeitsmasse weicht also auf beiden Seiten ins Unendliche aus. Als erweiterter Grenzwert lässt sich eine Zufallsvariable X mit P(X=-\infty)=P(X=+\infty)=1/2 auffassen. Ihre Subverteilungsfunktion ist H(x)=1/2 für alle x\in\mathbb R, denn \lim_{n\to\infty}F_n(x)=\lim_{n\to\infty}\Phi(x/n)=1/2. Die Konvergenz von F_n gegen H ist vage Konvergenz; bei beschränkten Subverteilungsfunktionen fällt sie mit schwacher Konvergenz von maßtheoretischen Verteilungsfunktionen zusammen.

Vorsicht beim Rechnen

Bei Rechnungen mit erweiterten Zufallsvariablen sind Regeln für unbestimmte Ausdrücke nötig; ohne ausdrückliche Vereinbarungen können übliche Umformungen nicht gelten.

• Gilt X>0 und P(X=+\infty)>0, dann muss für 0\cdot X entschieden werden, wie 0\cdot(+\infty) definiert ist. Mit der maßtheoretisch üblichen Festlegung 0\cdot(+\infty):=0 ist 0\cdot X=0.
• Unter derselben Voraussetzung wäre X-X=0 nur dann sichergestellt, wenn man (+\infty)-(+\infty)=0 festlegte. Dies ist keine übliche Vereinbarung.
• Ist P(X=+\infty)=p>0, kann man X'=1/X für endliches X und X'=0 für X=+\infty setzen. Dann gilt P(X'=0)=p. Damit X\cdot X'=1 gilt, müsste an dieser Stelle jedoch (+\infty)\cdot0=1 vereinbart werden.
• Nimmt X nur die Werte -\infty und +\infty an, folgt aus (+\infty)+(+\infty)=+\infty und (-\infty)+(-\infty)=-\infty, dass X+X=X, obwohl X\ne0 sein kann.