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Einfache Gruppe (Mathematik)
Eine einfache Gruppe ist ein mathematisches Objekt der Algebra, das insbesondere in der Gruppentheorie betrachtet wird. Jede Gruppe hat sich selbst und die …
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Begriff und Definition
Eine einfache Gruppe ist ein grundlegendes Objekt der Algebra und besonders der Gruppentheorie. Jede Gruppe G besitzt mindestens zwei Normalteiler: die Gruppe G selbst und die nur aus dem neutralen Element bestehende Menge {1}. Einfach heißt eine Gruppe genau dann, wenn sie keine weiteren Normalteiler besitzt.
Formal gilt: Eine Gruppe G heißt einfach, wenn ihre einzigen Normalteiler G und {1} sind. Zusätzlich wird G ≠ {1} verlangt. Daher kann man gleichbedeutend sagen, dass eine einfache Gruppe genau zwei Normalteiler besitzt.
Endliche einfache Gruppen
Endliche einfache Gruppen gelten als „Grundbausteine“ der endlichen Gruppen, weil sich jede endliche Gruppe in endlich vielen Schritten aus einfachen Gruppen konstruieren lässt. Ihre Klassifikation ist seit 1982 vollständig.
Zu den endlichen einfachen Gruppen gehören:
- die zyklischen Gruppen von Primzahlordnung,
- die alternierenden Gruppen A_n für n ≥ 5,
- die Gruppen vom Lie-Typ, die 16 jeweils unendliche Serien bilden,
- 26 sporadische Gruppen.
Unendliche einfache Gruppen
Unendliche einfache Gruppen sind nicht abelsch. Das bedeutet, dass ihre Gruppenoperation nicht für alle Elemente vertauschbar ist.
Ein Beispiel ist die unendliche alternierende Gruppe A_∞. Sie besteht aus den endlichen geraden Permutationen der natürlichen Zahlen und kann als direkter Limes aller Gruppen A_n unter den Standardeinbettungen A_n → A_{n+1} konstruiert werden.
Außerdem ist jede von der zweielementigen Gruppe C_2 verschiedene Gruppe mit genau zwei Konjugationsklassen eine unendliche einfache Gruppe.
Einfache Lie-Gruppen
In der Theorie der Lie-Gruppen wird der Ausdruck „einfache Lie-Gruppe“ anders verwendet als in der allgemeinen Gruppentheorie. Eine zusammenhängende Lie-Gruppe heißt dort einfach, wenn ihre Lie-Algebra eine einfache Lie-Algebra ist. Lie-Gruppen dürfen dabei nicht mit den endlichen Gruppen vom Lie-Typ verwechselt werden.
Diese Definition ist gleichbedeutend mit zwei weiteren Bedingungen: Alle echten Normalteiler sind diskrete Untergruppen, oder es gibt keine nichttrivialen zusammenhängenden Normalteiler.
Der Unterschied zwischen den Definitionen zeigt sich an SL(2,ℝ): Diese Gruppe ist im Sinne der Lie-Gruppen-Theorie einfach, besitzt aber den Normalteiler {±1} und ist deshalb nach der üblichen gruppentheoretischen Definition nicht einfach. Der Quotient PSL(2,ℝ) = SL(2,ℝ)/{±1} ist dagegen auch im üblichen gruppentheoretischen Sinn eine einfache Gruppe.