Drude-Theorie

Grundidee und Bedeutung

Die Drude-Theorie, auch Drude-Modell genannt, ist eine klassische Beschreibung des Ladungstransports in Metallen und allgemeiner des Transports freier Elektronen in Festkörpern unter dem Einfluss eines äußeren elektrischen Feldes. Bei elektrischen Wechselfeldern und damit auch bei Licht spricht man außerdem von der Drude-Zener-Theorie beziehungsweise dem Drude-Zener-Modell.

Das Modell betrachtet einen elektrischen Leiter als Ionenkristall: Die positiven Gitterionen bilden das Kristallgitter, während sich die Elektronen darin frei bewegen. Diese beweglichen Elektronen bilden ein Elektronengas und ermöglichen die Stromleitung. Ohne elektrisches Feld verhalten sie sich ähnlich wie Teilchen in der kinetischen Gastheorie.

Das Drude-Modell konnte erstmals das ohmsche Gesetz erklären: Die Stromstärke beziehungsweise Stromdichte ist proportional zur elektrischen Feldstärke. Der berechnete Widerstand eines Materials ist allerdings etwa sechsmal größer als der gemessene Wert. Als Grund nennt der Artikel quantenstatistische Vorgänge und das Erreichen der Fermi-Energie, wodurch tatsächlich mehr Elektronen zur Verfügung stehen.

Das Modell wurde von Paul Drude um 1900 veröffentlicht, 1905 von Hendrik Antoon Lorentz erweitert und 1933 von Arnold Sommerfeld und Hans Bethe um Ergebnisse der Quantenmechanik ergänzt.

Leitung bei Gleichstrom

In einem äußeren elektrischen Feld E wirkt auf ein freies Elektron die elektrische Kraft F_el = q·E. Das Elektron wird beschleunigt, bewegt sich aber nicht dauerhaft immer schneller. Sonst könnten Widerstand und Stromstärke nicht konstant sein und das ohmsche Gesetz würde nicht gelten.

Nach kurzer Zeit entsteht ein stationäres Gleichgewicht: Die mittlere Geschwindigkeit der Elektronen und damit der elektrische Strom sind proportional zur Feldstärke. Das Drude-Modell erklärt dies durch Zusammenstöße der Elektronen mit Gitterionen. Dabei werden die Elektronen abgebremst. Die mittlere Zeit zwischen zwei Kollisionen heißt Stoßzeit τ. Mit steigender Temperatur sinkt τ und dadurch auch die elektrische Leitfähigkeit von Metallen.

Die Bewegungsgleichung lautet:

m·v̇ + (m/τ)·v_D = −eE

Dabei ist m die Elektronenmasse, v die Elektronengeschwindigkeit, v_D die Driftgeschwindigkeit, τ die Stoßzeit und e die Elementarladung. Die Driftgeschwindigkeit ist die Elektronengeschwindigkeit abzüglich der thermischen Geschwindigkeit. Ihr negatives Vorzeichen zeigt, dass sich Elektronen entgegen der Richtung des elektrischen Feldes bewegen; die technische Stromrichtung ist entgegengesetzt zur Elektronenbewegung.

Im stationären Zustand gilt v̇ = 0. Damit folgt:

v_D = −(e·τ/m)E

Mit der Ladungsträgerdichte n, also der Zahl der beweglichen Ladungsträger pro Volumen, erhält man für die Stromdichte j:

j = −e·n·v_D = (e²·τ·n/m)E

Die Gleichstromleitfähigkeit σ ist daher:

σ = j/E = e²·τ·n/m

Diese Beziehung heißt Drude-Formel oder Drude-Leitfähigkeit. Eine große Ladungsträgerdichte und eine lange Stoßzeit erhöhen demnach die Leitfähigkeit.

Leitung bei Wechselfeldern

Ein elektrisches Feld, das sich periodisch mit der Kreisfrequenz ω ändert, wird beschrieben durch:

E(t) = Ê(ω)·exp(−iωt)

Bei genügend hoher Kreisfrequenz, also ωτ ≫ 1, und einer begrenzten Feldstärke mit linearer Stromantwort stellt sich keine konstante Driftgeschwindigkeit ein. Stattdessen ist die zeitabhängige Einteilchengleichung zu lösen:

m·v̇(t) + (m/τ)·v(t) = −eE(t)

Für isotrope Materialien, deren Eigenschaften nicht von der Raumrichtung abhängen, gilt j(ω) = σ(ω)·Ê(ω). Die Leitfähigkeit σ(ω) ist hier eine skalare Proportionalitätskonstante. Bei anisotropen Materialien hängen die Eigenschaften von der Richtung ab: Stromdichte und Feld werden als Vektoren und die Leitfähigkeit als Tensor dargestellt.

Um die Phasenverschiebung zwischen Elektronengeschwindigkeit und Feld zu berücksichtigen, verwendet man den komplexen Ansatz v(t) = v̂(ω)·exp(−iωt). Daraus folgt:

v̂(ω) = −(eτ/m)·[1/(1−iωτ)]·Ê(ω)

Mit j(ω) = −ne·v̂(ω) ergibt sich die frequenzabhängige Leitfähigkeit:

σ(ω) = (ne²τ/m)·[1/(1−iωτ)] = σ_DC/(1−iωτ)

Dabei ist σ_DC = ne²τ/m die Gleichstromleitfähigkeit. Über die Plasmafrequenz ω_p kann sie auch geschrieben werden als:

σ_DC = ε₀·ω_p²·τ, wobei ω_p² = ne²/(ε₀m).

In der Optik wird die Leitfähigkeit mit der dielektrischen Funktion ε(ω) verbunden:

ε(ω) = ε_∞ + iσ(ω)/(ε₀ω)

Daraus erhält man:

ε(ω) = ε_∞ − ω_p²/(ω² + iω/τ)

ε_∞ bezeichnet den dielektrischen Hintergrund des Materials ohne den Beitrag der freien Ladungsträger.

Grenzen und Erweiterungen

Die zentrale Schwäche des Drude-Modells liegt in der Annahme, dass alle Elektronen zum Strom beitragen. Dies widerspricht dem Pauli-Prinzip. Auch aus klassischer Sicht entsteht ein Problem: Nach der statistischen Thermodynamik trägt jeder Freiheitsgrad eines Systems im Mittel ½k_B T zur inneren Energie bei. Jedes Elektron müsste deshalb 3·½k_B T beitragen. Messungen zeigen jedoch, dass der elektronische Beitrag zur Gesamtenergie etwa tausendmal kleiner ist. Daher können nicht alle Elektronen Teil des Elektronengases sein; außerdem bewegen sich die Elektronen weniger frei, als es die kinetische Gastheorie annimmt.

Neben der falschen Größe der berechneten Leitfähigkeit beziehungsweise des Widerstands sagt das Modell voraus, dass Widerstand und Elektronengeschwindigkeit proportional zur Wurzel der Temperatur sind. Diese Abhängigkeit wird in der Wirklichkeit nicht beobachtet.

Das Drude-Modell kann außerdem nicht entscheiden, ob ein Material ein Leiter, Halbleiter oder Isolator ist. Diese Einschränkung kann teilweise auch als Vorteil gelten, weil sich das Modell auf freie Elektronen im Leitungsband eines Halbleiters anwenden lässt. Eine genauere quantenmechanische Beschreibung liefern das sommerfeldsche Modell und darüber hinaus das Bändermodell, das Bandlücken richtig vorhersagt.

Eine Verallgemeinerung ist das Lorentz-Oszillator-Modell, auch Drude-Lorentz-Modell genannt. Es berücksichtigt zusätzliche Absorptionsmaxima, die beispielsweise durch Bandübergänge entstehen. Dadurch kann es die dielektrische Funktion zahlreicher Materialien beschreiben, darunter auch Halbleiter und Isolatoren.