Bunjakowski-Vermutung

Kern der Vermutung

Die Bunjakowski-Vermutung ist eine offene Vermutung der Zahlentheorie. Sie betrifft ganzzahlige Polynome einer Variablen, also Ausdrücke wie f(x)=x²+1, deren Koeffizienten ganze Zahlen sind.

Kein solches Polynom erzeugt beim Einsetzen aller natürlichen Zahlen ausschließlich Primzahlen. Die zentrale Frage lautet aber, ob ein Polynom für unendlich viele natürliche Zahlen n einen Primzahlwert f(n) liefern kann. Wiktor Jakowlewitsch Bunjakowski formulierte 1857 Bedingungen dafür.

Die drei Bedingungen

Ein Polynom f(x) positiven Grades soll unendlich viele Primzahlwerte f(n) besitzen können, wenn diese drei notwendigen Bedingungen erfüllt sind:

• Sein führender Koeffizient, also der Koeffizient der höchsten Potenz von x, ist positiv.
• Es ist über den ganzen Zahlen irreduzibel. Das bedeutet: Es lässt sich nicht als Produkt zweier nichttrivialer ganzzahliger Polynome schreiben.
• Alle Werte f(n) für n∈ℕ sind relativ prim; ihr größter gemeinsamer Teiler (ggT) ist also 1.

Bunjakowski vermutete, dass diese Bedingungen nicht nur notwendig, sondern auch hinreichend sind: Jedes Polynom mit diesen drei Eigenschaften soll unendlich viele Primzahlen als Werte annehmen.

Bedeutung der Bedingungen

Ein negativer führender Koeffizient würde dazu führen, dass f(n) für genügend große n negativ wird. Dann können keine positiven Primzahlwerte mehr auftreten. Diese Bedingung entfällt, wenn auch negative Primzahlen zugelassen werden.

Wäre f(x) reduzibel, also f(n)=g(n)·h(n), wobei g und h ganzzahlige Polynome sind und nicht identisch ±1, dann wären die Werte für genügend große n zusammengesetzt. Denn die Gleichungen g(n)=0, g(n)=±1 sowie die entsprechenden Gleichungen für h haben jeweils nur endlich viele Lösungen.

Die Koeffizienten müssen einen ggT von 1 haben, damit es mehr als zwei nichttriviale Primzahl-Lösungen geben kann. Das folgt aus der dritten Bedingung. Um diese zu prüfen, genügt es, zwei verschiedene Zahlen m und n zu finden, für die f(m) und f(n) relativ prim sind: Ein gemeinsamer Teiler b≠1 aller Werte müsste sonst auch beide Werte teilen. Umgekehrt reicht ein ggT von 1 bei den Koeffizienten nicht aus, um die dritte Bedingung zu sichern.

Beispiele und Forschungsstand

Das Polynom f(x)=x²+x+2=x(x+1)+2 erfüllt die ersten beiden Bedingungen, aber nicht die dritte: Seine Werte sind immer gerade. Der einzige Primzahlwert ist 2 für x=0.

Kreisteilungspolynome erfüllen alle drei Bedingungen von Bunjakowski. Auch x²+1 ist ein Beispiel. Dass x²+1 unendlich viele Primzahlwerte liefert, vermutete Leonhard Euler; dies ist eines der Landau-Probleme und folgt auch aus der fünften Hardy-Littlewood-Vermutung.

Die Bunjakowski-Vermutung ist bislang nur für Polynome ersten Grades f(x)=ax+b bewiesen, und zwar durch den Dirichletschen Primzahlsatz. Für höhere Grade gibt es numerische Unterstützung, aber keinen Beweis. Polynome mit den drei Eigenschaften und Grad größer 1 heißen Bunjakowski-Polynome. Es ist nicht einmal bekannt, ob jedes solche Polynom mindestens eine Primzahllösung besitzt.

Eine Verallgemeinerung auf Systeme mehrerer irreduzibler Polynome stammt von Andrzej Schinzel und Wacław Sierpiński.