Beschränktes symmetrisches Gebiet

Grundidee und Bedeutung

Beschränkte symmetrische Gebiete sind ein Begriff aus der komplexen Analysis. Sie sind bestimmte Teilmengen eines komplexen Vektorraumes. Anschaulich besitzen sie zu jedem ihrer Punkte eine Symmetrie an genau diesem Punkt, ähnlich wie eine Punktspiegelung in der euklidischen Geometrie.

Sie sind wichtig in der Funktionentheorie mehrerer Variablen und in der modernen Zahlentheorie. Besonders verschiedene Quotientenräume beschränkter symmetrischer Gebiete spielen dort eine große Rolle. Als Beispiel nennt der Artikel Shimura-Varietäten, die ein zentraler Teil des Langlands-Programms sind.

Definition

Ein beschränktes symmetrisches Gebiet ist ein beschränktes Gebiet Ω ⊂ ℂⁿ, zu dem es für jedes z ∈ Ω eine biholomorphe Involution σ_z: Ω → Ω mit z als einzigem Fixpunkt gibt.

Dabei bedeutet „beschränkt“, dass das Gebiet nicht beliebig weit in ℂⁿ hinausreicht. Eine biholomorphe Abbildung ist eine holomorphe Abbildung mit holomorpher Umkehrabbildung. Eine Involution ist eine Abbildung, die bei zweimaliger Anwendung wieder die Ausgangsstelle ergibt. Der Punkt z ist der einzige Fixpunkt, wenn nur z selbst durch σ_z unverändert bleibt.

Beispiel Einheitskreisscheibe

Die Einheitskreisscheibe D = {z ∈ ℂ : ‖z‖ < 1} ist ein beschränktes symmetrisches Gebiet. Sie kann mit einer hyperbolischen Metrik 4dz²/(1−‖z‖²)² versehen werden. Diese Metrik entsteht, indem man die euklidische Metrik mit 4/(1−‖z‖²)² multipliziert.

Mit dieser Metrik werden Abstände zwischen zwei Punkten immer größer, wenn man sich dem Rand der Kreisscheibe annähert; sie gehen gegen Unendlich. Die Kreisscheibe mit dieser hyperbolischen Metrik ist ein symmetrischer Raum. Das heißt: Zu jedem Punkt z ∈ D gibt es eine isometrische „Punktspiegelung“ an z.

Diese Punktspiegelung ist keine euklidische Isometrie, sondern eine Isometrie der hyperbolischen Metrik. Da die Isometrien der hyperbolischen Metrik alle biholomorphe Abbildungen sind, erhält man zu jedem Punkt eine biholomorphe Abbildung mit z als einzigem Fixpunkt.

Zusammenhang mit hermiteschen symmetrischen Räumen

In der riemannschen Geometrie entsprechen beschränkte symmetrische Gebiete den nicht-kompakten, nicht-flachen, nichtpositiv gekrümmten hermiteschen symmetrischen Räumen. Ein hermitescher symmetrischer Raum ist dabei ein symmetrischer Raum mit einer Struktur, die zur komplexen Geometrie passt.

Ist D ein beschränktes symmetrisches Gebiet, so kann man mithilfe des Bergman-Kerns K(z,w) die Bergman-Metrik auf D definieren. Für diese Metrik ist jede biholomorphe Abbildung von D eine Isometrie. Daher ist D mit dieser Metrik ein hermitescher symmetrischer Raum.

Umgekehrt kann jeder hermitesche symmetrische Raum nichtkompakten Typs durch die Harish-Chandra-Einbettung als beschränktes symmetrisches Gebiet realisiert werden.