Befreundete Zahlen

Definition und Grundidee

Befreundete Zahlen sind zwei verschiedene natürliche Zahlen, bei denen jede Zahl genau die Summe der echten Teiler der anderen Zahl ist. Echte Teiler einer Zahl sind alle positiven Teiler außer der Zahl selbst. Bezeichnet man die Summe der echten Teiler von x mit σ*(x), dann bilden zwei verschiedene natürliche Zahlen a und b ein Paar befreundeter Zahlen, wenn σ*(a)=b und σ*(b)=a gilt.

Nimmt man statt der echten Teiler alle Teiler, also auch die Zahl selbst, dann gilt für ein befreundetes Paar außerdem σ(a)=σ(b)=a+b. Dabei steht σ(x) für die Summe aller positiven Teiler von x. Diese Beziehung ist wichtig, weil sie auch zur Verallgemeinerung auf größere Zahlentupel führt.

Wichtige Beispiele

Das kleinste befreundete Zahlenpaar ist (220, 284). Für 220 ist die Summe der echten Teiler 1+2+4+5+10+11+20+22+44+55+110=284. Für 284 ist die Summe der echten Teiler 1+2+4+71+142=220. Damit erfüllen beide Zahlen genau die Definition.

Die ersten befreundeten Zahlenpaare sind (220, 284), (1184, 1210), (2620, 2924), (5020, 5564), (6232, 6368), (10744, 10856), (12285, 14595), (17296, 18416), (63020, 76084), (66928, 66992), (67095, 71145), (69615, 87633), (79750, 88730), …

Viele bekannte befreundete Zahlenpaare haben einen gemeinsamen kleinsten Primfaktor, meistens 2 oder 5. Es gibt aber auch bekannte Paare ohne gemeinsamen kleinsten Primfaktor; davon waren am 30. Januar 2016 sieben bekannt. Viele befreundete Zahlenpaare haben außerdem die Eigenschaft, dass ihre Summe durch 10 teilbar ist, zum Beispiel (6232, 6368) mit der Summe 12.600 und (10744, 10856) mit der Summe 21.600.

Eigenschaften und offene Fragen

In einem befreundeten Zahlenpaar ist die kleinere Zahl immer abundant und die größere Zahl defizient. Eine abundante Zahl ist eine Zahl, deren echte Teiler zusammen mehr als die Zahl selbst ergeben. Eine defiziente Zahl ist eine Zahl, deren echte Teiler zusammen weniger als die Zahl selbst ergeben.

Die asymptotische Dichte der Menge der befreundeten Zahlen ist 0. Das bedeutet: Unter sehr großen Zahlen werden befreundete Zahlen im Verhältnis zu allen Zahlen immer seltener.

Bisher sind bei allen bekannten befreundeten Zahlenpaaren entweder beide Zahlen gerade oder beide Zahlen ungerade. Es ist noch unbekannt, ob es ein Paar gibt, bei dem eine Zahl gerade und die andere ungerade ist. Falls es ein solches Paar gibt, muss die gerade Zahl entweder eine Quadratzahl oder das Doppelte einer Quadratzahl sein; die ungerade Zahl muss eine Quadratzahl sein.

Ebenfalls offen ist, ob es befreundete Zahlenpaare gibt, die teilerfremd sind, also keinen gemeinsamen Primfaktor besitzen. Jedes bisher bekannte Paar hat mindestens einen gemeinsamen Primfaktor. Falls ein teilerfremdes Paar (a,b) existiert, muss a·b>10^67 gelten. Ein solches Paar kann weder mit Thabits Formel noch mit einer ähnlichen Formel erzeugt werden.

Es wird außerdem vermutet, dass es unendlich viele befreundete Zahlen gibt. Ein Beweis dafür ist bisher nicht bekannt.

Formeln zur Erzeugung

Ein klassischer Satz stammt von Thabit Ibn Qurra. Für eine natürliche Zahl n seien x=3·2^n−1, y=3·2^(n−1)−1 und z=9·2^(2n−1)−1. Wenn x, y und z ungerade Primzahlen sind, dann sind a=2^n·x·y und b=2^n·z befreundete Zahlen. Zahlen der Form 3·2^n−1 heißen deshalb Thabit-Zahlen. Zwei aufeinanderfolgende Thabit-Zahlen müssen prim sein, was die möglichen Werte für n stark einschränkt.

Für n=2 erhält man x=11, y=5 und z=71, also a=4·11·5=220 und b=4·71=284. Für n=3 ist z=287=7·41 nicht prim, daher entsteht kein befreundetes Paar. Für n=4 ergibt sich das Paar (17296, 18416), und für n=7 wurde das Paar (9.363.584, 9.437.056) berechnet. Heute ist bekannt, dass Thabits Satz für n≤191.600 keine weiteren befreundeten Zahlen liefert.

Leonhard Euler verallgemeinerte diesen Satz. Für n∈ℕ seien x=f·2^n−1, y=f·2^(n−k)−1 und z=f^2·2^(2n−k)−1 mit f=2^k+1 und n>k>0. Wenn x, y und z Primzahlen sind, dann sind a=2^n·x·y und b=2^n·z befreundet. Der Fall k=1 ist genau Thabits Satz. Euler fand 1747 weitere 30 befreundete Zahlenpaare und veröffentlichte später weitere 34, von denen 2 falsch waren. 1985 berechnete Herman te Riele alle befreundeten Zahlen unter 10.000.000.000; es waren 1427 Paare. Im Mai 2018 waren 1.222.206.716 Paare bekannt.

Ein weiterer Satz von Walter Borho erzeugt aus bereits bekannten befreundeten Zahlen neue Paare. Sind A und B befreundet mit A=a·u und B=a·s, wobei s eine Primzahl ist, und ist p=u+s+1 eine Primzahl, die a nicht teilt, dann können unter weiteren Primzahlbedingungen neue befreundete Zahlen entstehen: Sind q1=(u+1)·p^n−1 und q2=(u+1)·(s+1)·p^n−1 prim, dann sind A1=A·p^n·q1 und B1=a·p^n·q2 befreundet. Borho fand mit diesem Satz weitere 10.455 befreundete Zahlen.

Reguläre und Zwillingspaare

Ein befreundetes Zahlenpaar (A,B) mit A<B heißt regulär, wenn man A=g·a und B=g·b schreiben kann, wobei g=ggT(A,B) der größte gemeinsame Teiler ist, und sowohl a als auch b teilerfremd zu g und quadratfrei sind. Quadratfrei bedeutet, dass in der Primfaktorzerlegung kein Primfaktor mehrfach vorkommt. Ist ein Paar nicht regulär, heißt es irregulär oder exotisch.

Beim Paar (220,284) ist g=ggT(220,284)=4. Dann gilt 220=4·55 und 284=4·71. Da 55=5·11 und 71 prim ist, ist das Paar regulär. Es ist vom Typ (2,1), weil die erste Restzahl zwei Primfaktoren und die zweite Restzahl einen Primfaktor hat. Dagegen ist (1184,1210) irregulär: Bei g=2 ist a=592=2^4·37 nicht teilerfremd zu g und nicht quadratfrei; außerdem ist b=605=5·11^2 nicht quadratfrei.

Ein befreundetes Zahlenpaar (a,b) heißt befreundetes Zwillingspaar, wenn zwischen a und b keine ganze Zahl liegt, die zu einem anderen befreundeten Zahlenpaar gehört. Beispiele sind (220,284), (1184,1210), (2620,2924), (5020,5564), (6232,6368), (10744,10856), (12285,14595), (17296,18416) und (66928,66992). Das Paar (63020,76084) ist kein Zwillingspaar, weil die Zahl 69615 aus dem befreundeten Paar (69615,87633) zwischen 63020 und 76084 liegt.

Verallgemeinerungen und verwandte Klassen

Die Idee befreundeter Zahlen lässt sich auf Zahlentupel erweitern. Ein Tupel (n1,n2,…,nk) heißt befreundetes Zahlentupel, wenn σ(n1)=σ(n2)=…=σ(nk)=n1+n2+…+nk gilt. Beispiel: (1980,2016,2556) ist ein befreundetes Zahlentripel, weil die Summe aller Teiler für alle drei Zahlen 6552 ergibt, und 6552=1980+2016+2556 ist. Das Tupel (3270960,3361680,3461040,3834000) ist ein befreundetes Zahlenquadrupel, weil die Summe aller Teiler jeweils 13927680 beträgt.

Quasibefreundete Zahlen ähneln befreundeten Zahlen, aber bei ihnen werden weder die Zahl selbst noch die 1 mitgezählt. Man betrachtet also nur die nichttrivialen Teiler. Beispiel: 48 und 75 sind quasibefreundet. Die nichttrivialen Teiler von 48 ergeben 2+3+4+6+8+12+16+24=75, und die nichttrivialen Teiler von 75 ergeben 3+5+15+25=48.

Gesellige Zahlen sind endliche Ketten von mehr als zwei natürlichen Zahlen, bei denen jede Zahl die Summe der echten Teiler der vorherigen Zahl ist und die erste Zahl wieder die Summe der echten Teiler der letzten Zahl ist. Sie bilden periodische Aliquot-Folgen. Eine Aliquot-Folge ist eine Folge, bei der jedes Folgenglied durch die Summe der echten Teiler des vorherigen Glieds entsteht. Im November 2017 waren gesellige Ketten der Längen 4, 5, 6, 8, 9 und 28 bekannt, insgesamt 5410 Ketten.