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Bedingte Verteilung
Die bedingte Verteilung basiert auf dem Konzept der (elementaren) bedingten Wahrscheinlichkeit und weist daher Defizite bezüglich Allgemeingültigkeit und im …
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Grundidee und Bedeutung
Die bedingte Verteilung von Zufallsvariablen ist ein Verfahren der Stochastik. Eine multivariate Verteilung, also eine Verteilung mehrerer Zufallsvariablen, wird mithilfe von Randverteilungen so angepasst, dass bereits vorhandenes Wissen über die Werte einer oder mehrerer Variablen berücksichtigt wird. Die bedingte Verteilung beschreibt damit, wie sich eine Zufallsvariable unter einer bekannten Bedingung verteilt.
Sie ist besonders wichtig in der Bayesschen Statistik, beispielsweise zur Definition der A-posteriori-Wahrscheinlichkeiten. Die elementare bedingte Verteilung beruht auf dem Konzept der bedingten Wahrscheinlichkeit. Deshalb besitzt sie Einschränkungen hinsichtlich ihrer Allgemeingültigkeit und im Umgang mit Nullmengen. Die wesentlich allgemeinere reguläre bedingte Verteilung baut auf dem bedingten Erwartungswert auf. Sie vermeidet diese strukturellen Probleme, ist aber deutlich technischer.
Diskrete Zufallsvariablen
Gegeben sei eine zweidimensionale Zufallsvariable Z = (X,Y) auf ℤ² mit gemeinsamer Wahrscheinlichkeitsfunktion f(x,y). Außerdem sei f_Y(y) die Randwahrscheinlichkeitsfunktion bezüglich Y. Für P(Y = y) > 0 heißt die Zufallsvariable mit der Wahrscheinlichkeitsfunktion
f(x|y) := P(X = x,Y = y) / P(Y = y) = f(x,y) / f_Y(y)
die bedingte Verteilung von X gegeben Y = y. Die Funktion f(x|y) wird bedingte Wahrscheinlichkeitsfunktion genannt. Das zugehörige Wahrscheinlichkeitsmaß wird meist mit P_{X|Y=y} bezeichnet.
Die Formel zeigt: Die gemeinsame Wahrscheinlichkeit, dass X = x und Y = y gilt, wird durch die Wahrscheinlichkeit der Bedingung Y = y geteilt. Voraussetzung ist, dass diese Bedingung eine positive Wahrscheinlichkeit besitzt.
Stetige Zufallsvariablen
Für eine zweidimensionale Zufallsvariable Z = (X,Y) auf ℝ² wird die bedingte Verteilung von X gegeben Y = y über die Verteilungsfunktion definiert:
F(x|y) = lim_{h↓0} P(X ≤ x | y ≤ Y ≤ y+h).
Dabei wird die Bedingung Y = y durch immer kleinere Intervalle y ≤ Y ≤ y+h angenähert. Existiert eine gemeinsame Dichte f(x,y) von X und Y sowie eine Randdichte f_Y(y) bezüglich Y, die ungleich null ist, dann besitzt die bedingte Verteilung die bedingte Dichte
f(x|y) = f(x,y) / f_Y(y).
Damit hat der stetige Fall unter diesen Voraussetzungen eine zur diskreten Formel entsprechende Darstellung.
Beispiel einer deterministischen Bedingung
Betrachtet wird eine multinomialverteilte Zufallsvariable Z = (X,Y) mit Z ∼ M(n,(p,1−p)). Ihre gemeinsame Wahrscheinlichkeitsfunktion lautet
f_Z(x,y) = { (n über x,y) p^x(1−p)^y, falls x+y=n; 0, sonst }.
Die Randwahrscheinlichkeit bezüglich X ist binomialverteilt:
f_X(x) = (n über x) p^x(1−p)^(n−x).
Für die bedingte Wahrscheinlichkeitsfunktion von Y gegeben X = x ergibt sich
f(y|x) = f_Z(x,y) / f_X(x) = { 1, falls y = n−x; 0, sonst }.
Der Grund ist die feste Kopplung x+y=n. Die Summe der Erfolge muss immer n ergeben. Sobald der Wert von X bekannt ist, steht deshalb auch der Wert von Y fest: Es gilt Y = n−X. Die bedingte Wahrscheinlichkeit ist in diesem Beispiel daher deterministisch.