Bayesianische Erkenntnistheorie

Ansatz und Bedeutung

Die Bayesianische Erkenntnistheorie ist ein formaler Ansatz, der erkenntnistheoretische Fragen mithilfe der Wahrscheinlichkeitstheorie untersucht. Ihre Wurzeln liegen in den Arbeiten von Thomas Bayes. Gegenüber der traditionellen Erkenntnistheorie ermöglicht die mathematische Form eine besonders genaue Definition von Begriffen und Regeln.

Im Mittelpunkt stehen nicht bloß vorhandene oder fehlende Überzeugungen, sondern Glaubensgrade („credences“): Eine Person kann von einer Aussage unterschiedlich stark überzeugt sein. Glaubensgrade werden als subjektive Wahrscheinlichkeiten zwischen 0 und 1 verstanden und unterliegen Rationalitätsnormen. Statische oder synchrone Normen bestimmen, wie Glaubensgrade zu einem bestimmten Zeitpunkt zusammenpassen müssen. Dynamische oder diachrone Normen regeln, wie sie beim Eintreffen neuer Belege geändert werden sollen.

Die traditionelle Erkenntnistheorie untersucht unter anderem Wissen als gerechtfertigten wahren Glauben, Wissensquellen wie Wahrnehmung und Gedächtnis, Fundamentalismus, Kohärentismus und philosophische Skepsis. Sie stützt sich häufig auf epistemische Intuitionen. Der Bayesianismus formalisiert dagegen vor allem die Abstufungen des Glaubens und die Wirkung von Belegen. Die Locke’sche These verbindet beide Ansätze, indem sie gewöhnlichen Glauben als einen Glaubensgrad oberhalb eines bestimmten Schwellenwerts auffasst. Manche traditionellen Fragen, etwa die Skepsis gegenüber unserem Wissen über die Außenwelt, lassen sich jedoch nur schwer in Bayesianischen Begriffen ausdrücken.

Glaubensgrade und Rationalitätsnormen

Ein Glaubensgrad von 1 bedeutet vollständigen Glauben an eine Aussage, 0 vollständigen Unglauben beziehungsweise Glauben an ihr Gegenteil und 0,5 weder Glauben an die Aussage noch an ihr Gegenteil. Nach Frank P. Ramsey können solche Grade durch Wettbereitschaft erklärt werden. Ein Glaubensgrad von 0,8 dafür, dass eine Fußballmannschaft gewinnt, bedeutet beispielsweise die Bereitschaft, bis zu vier Euro einzusetzen, um einen Euro Gewinn erzielen zu können. Im weiten Sinn ist auch alltägliches Handeln eine Wette: Wer zum Bahnhof geht, setzt praktisch darauf, dass der Zug pünktlich kommt.

Außer bei Tautologien und Widersprüchen gelten Glaubensgrade von genau 1 oder 0 als problematisch. Sie würden eine unbegrenzte Wettbereitschaft ausdrücken und könnten durch neue Belege nicht mehr verändert werden.

Die Auffassung, dass Glaubensgrade subjektive Wahrscheinlichkeiten sind und deshalb den Wahrscheinlichkeitsgesetzen folgen müssen, heißt Probabilismus. Diese Gesetze legen nicht unmittelbar fest, wie wahrscheinlich etwa Regen morgen ist, sondern fordern ein widerspruchsfreies Gesamtsystem. Wer Regen den Wert 0,8 zuweist, sollte dem Ausbleiben von Regen 0,2 zuweisen. Stephan Hartmann und Jan Sprenger formulieren zwei grundlegende Gesetze: (1) P(A) = 1 für jede Tautologie A; (2) für inkompatible, also einander ausschließende Propositionen A und B gilt P(A ∨ B) = P(A) + P(B).

Das von David Lewis stammende „principal principle“ verlangt außerdem, dass subjektive Glaubensgrade bekannten objektiven Wahrscheinlichkeiten entsprechen. Ist bekannt, dass eine Münze mit 50 % Wahrscheinlichkeit Kopf zeigt, sollte der Glaubensgrad für Kopf 0,5 betragen.

Lernen aus neuen Belegen

Das Prinzip der Konditionalisierung beschreibt den dynamischen Teil rationalen Glaubens. Es bestimmt, wie der Glaubensgrad an eine Hypothese H nach einem neuen Beleg B geändert werden soll. Grundlage ist die bedingte Wahrscheinlichkeit P(A | B), also die Wahrscheinlichkeit von A unter der Voraussetzung, dass B eingetreten ist. Bei zwei Münzwürfen beträgt die Wahrscheinlichkeit für zweimal Kopf 25 %. Wenn der erste Wurf bereits Kopf gezeigt hat, beträgt die bedingte Wahrscheinlichkeit für zweimal Kopf 50 %.

Die Wahrscheinlichkeit vor dem neuen Beleg heißt A-priori-Wahrscheinlichkeit, die danach A-posteriori-Wahrscheinlichkeit. Die einfache Konditionalisierung lautet: P_post​erior(H) = P_prior(H | B) = P_prior(H ∧ B) / P_prior(B). Die neue Wahrscheinlichkeit der Hypothese entspricht somit ihrer vorherigen bedingten Wahrscheinlichkeit unter dem eingetretenen Beleg. Der Satz von Bayes kann unmittelbar aus dieser Formulierung abgeleitet werden.

Das einfache Verfahren setzt den Glaubensgrad des erhaltenen Belegs auf 1. Das ist oft unrealistisch, weil beispielsweise wissenschaftliche Belege später verworfen werden können. Richard Jeffreys alternative Konditionalisierung berücksichtigt deshalb, wie sicher der Beleg selbst ist: P_posterior(H) = P_prior(H | B) · P_posterior(B) + P_prior(H | ¬B) · P_posterior(¬B).

Wetten als Rationalitätstest

Ein „Dutch book“ ist eine Kombination von Wetten, die unabhängig vom Ausgang zwangsläufig zu einem Verlust führt. Eine Person ist dafür anfällig, wenn ihre Glaubensgrade die Wahrscheinlichkeitsgesetze verletzen. Bei einem synchronen Dutch book passen gleichzeitig bestehende Glaubensgrade nicht zusammen; bei einem diachronen Dutch book wird nach neuen Belegen falsch aktualisiert.

Ein einfaches Beispiel betrifft Regen und Nichtregen. Schreibt eine Person beiden Möglichkeiten den Glaubensgrad 0,51 zu, würde sie für jede der beiden Wetten 0,51 € zahlen, um beim Eintreten der jeweiligen Möglichkeit 1 € zu erhalten. Insgesamt zahlt sie 1,02 €, erhält aber in jedem Fall nur 1 € zurück und verliert daher sicher 0,02 €.

Nach der traditionellen Deutung beweist eine solche Verlustanfälligkeit Irrationalität, weil die Person freiwillig gegen ihr eigenes Interesse handelt. Dagegen wird eingewandt, dass diese Deutung logische Allwissenheit voraussetzt, besonders bei komplizierten diachronen Fällen. Eine schwächere Deutung versteht Dutch books als Heuristik, mit der sich das Potenzial zur „pragmatischen Selbstdemontage“ erkennen lässt.

Das Dutch-book-Theorem besagt, dass nur Verteilungen von Glaubensgraden, die nicht den Wahrscheinlichkeitsaxiomen folgen, für ein Dutch book anfällig sind. Nach dem umgekehrten Dutch-book-Theorem kann keine Verteilung, die diese Axiome erfüllt, auf diese Weise angegriffen werden.

Wissenschaft, Kohärenz und soziales Wissen

In der Wissenschaft bezeichnet Bestätigung die Unterstützung einer Hypothese durch einen Beleg. Bayesianisch bestätigt B die Hypothese H genau dann, wenn P(H | B) > P(H). Sinkt die Wahrscheinlichkeit, wird die Hypothese entkräftet. Ein einfaches Maß für die Stärke der Unterstützung ist P(H | B) − P(H). Dieses Maß hängt jedoch davon ab, wie wahrscheinlich die Theorie vorher schon war. Überraschende, für sich genommen unwahrscheinliche Belege können mehr Unterstützung liefern. Bei konkurrierenden Theorien ist außerdem die relative Bestätigung wichtig: Welche Theorie wird durch den neuen Beleg stärker gestützt?

Das Rabenparadox von Carl Gustav Hempel beruht darauf, dass „Alle Raben sind schwarz“ logisch gleichbedeutend ist mit „Wenn etwas nicht schwarz ist, dann ist es kein Rabe“. Daher scheint auch ein grüner Apfel die Rabenhypothese zu bestätigen. Der Bayesianismus akzeptiert dies, erklärt aber den Unterschied im Gewicht: Ein grüner Apfel liefert nur minimale positive Unterstützung, ein schwarzer Rabe deutlich mehr.

Kohärenz bezeichnet den Zusammenhang von Glaubenssätzen. Tomoji Shogenji schlägt das Maß Kohärenz(A,B) = P(A ∧ B) / (P(A) · P(B)) vor. Es vergleicht die Wahrscheinlichkeit, dass beide Aussagen gemeinsam wahr sind, mit der Wahrscheinlichkeit bei einem neutralen Verhältnis. Die Kohärenz ist hoch, wenn die Aussagen füreinander relevant sind. Da das Maß von der jeweiligen Wahrscheinlichkeitsverteilung abhängt, können dieselben Aussagen für verschiedene Personen unterschiedlich kohärent sein.

In der sozialen Erkenntnistheorie wird der Bayesianismus etwa auf Zeugenaussagen angewandt. Probabilistisch voneinander unabhängige Aussagen bieten zusammen mehr Unterstützung als abhängige. Außerdem können die Wahrscheinlichkeitszuweisungen einzelner Personen zusammengeführt werden, um den Glauben einer ganzen Gruppe zu bestimmen.

Offene Einwände und Grenzen

Das Problem der Prioren fragt, wie einer bisher nicht betrachteten Proposition die erste A-priori-Wahrscheinlichkeit zugewiesen werden soll. Subjektive Bayesianer verlangen außer probabilistischer Kohärenz keine oder nur wenige Einschränkungen. Sie argumentieren, dass unterschiedliche Anfangswerte mit zunehmenden Belegen auf denselben Wert zulaufen können. Objektive Bayesianer fordern zusätzliche Regeln. Nach dem Indifferenzprinzip werden ohne weitere Informationen gleiche Wahrscheinlichkeiten vergeben: Enthält eine Urne nur rote und schwarze Kugeln, deren Verhältnis unbekannt ist, beträgt die anfängliche Wahrscheinlichkeit für Rot 50 %. Das Prinzip führt jedoch in manchen Fällen zu Paradoxien. Außerdem wird eingewandt, dass aus bloßer Unwissenheit keine A-priori-Wahrscheinlichkeit folgen sollte.

Das Problem der logischen Allwissenheit entsteht, weil die Standardnormen vollständige Einhaltung sämtlicher Wahrscheinlichkeitsgesetze für alle Glaubensgrade voraussetzen. Andernfalls gilt eine Person wegen möglicher Dutch books als irrational. Kritiker halten diesen Maßstab für Menschen für unrealistisch.

Das Problem alter Belege betrifft Informationen, deren bestätigende Bedeutung erst später erkannt wird. Nach der Entdeckung dieser Beziehung sollte der Glaubensgrad an die Hypothese steigen. Die übliche Konditionalisierung erlaubt dies aber nicht, wenn sich die Wahrscheinlichkeit der bereits bekannten Belegaussage nicht verändert. So waren Anomalien in der Umlaufbahn Merkurs schon bekannt, bevor die allgemeine Relativitätstheorie formuliert wurde, und gelten deshalb als alte Belege. Diese und weitere Einwände zeigen, dass der Bayesianismus präzise Werkzeuge bereitstellt, aber nicht alle theoretischen Probleme der Erkenntnistheorie vollständig gelöst hat.