Ableitung einer Menge

Grundidee und Bezeichnungen

Die Ableitung einer Menge ist die Menge aller Häufungspunkte dieser Menge. Ein Häufungspunkt ist ein Punkt, in dessen jeder Umgebung sich weitere Punkte der Menge finden. Dafür muss auf der Grundmenge ein Abstandsbegriff oder allgemeiner eine Topologie festgelegt sein. Man sagt auch Derivierte der Menge.

Für eine Menge M schreibt man ihre Ableitung als M′, Mᵈ oder – bei der ersten Ableitung – M⁽¹⁾. Die Ableitung kann leer sein.

Wichtige Eigenschaften

In einem T₁-Raum gelten unter anderem:

• (M ∪ N)⁽¹⁾ = M⁽¹⁾ ∪ N⁽¹⁾ und M ⊆ N ⇒ M⁽¹⁾ ⊆ N⁽¹⁾.
• (M⁽¹⁾)⁽¹⁾ ⊆ M⁽¹⁾: Eine weitere Ableitung enthält keine neuen Punkte außerhalb der ersten Ableitung.
• (⋂ₜ∈T Mₜ)⁽¹⁾ ⊆ ⋂ₜ∈T Mₜ⁽¹⁾ sowie ⋃ₜ∈T Mₜ⁽¹⁾ ⊆ (⋃ₜ∈T Mₜ)⁽¹⁾.
• Die abgeschlossene Hülle erfüllt ȲM = M ∪ M⁽¹⁾ und ȲM⁽¹⁾ = Ȳ(M⁽¹⁾) = M⁽¹⁾.
• Für η < ξ gilt M⁽η⁾ ⊇ M⁽ξ⁾: Mit jeder weiteren Ableitung kann die Menge nur kleiner werden.

Eine Menge heißt perfekt genau dann, wenn M⁽¹⁾ = M gilt. Ihr insichdichter Kern ist der Durchschnitt aller ihrer Ableitungen.

Höhere Ableitungen

Höhere Mengenableitungen entstehen durch wiederholtes Bilden der Ableitung: M⁽ⁿ⁾ ist die Ableitung von M⁽ⁿ⁻¹⁾. Die abgeschlossene Hülle von M wird auch nullte Ableitung genannt.

Die Definition lässt sich auf Ordinalzahlen erweitern. Für eine isolierte Ordinalzahl ξ gilt M⁽ξ⁾ = (M⁽ξ⁻¹⁾)⁽¹⁾. Für eine Limeszahl ξ gilt M⁽ξ⁾ = ⋂η<ξ M⁽η⁾. So kann man auch nach unendlich vielen Schritten weiter ableiten.

Beispiel mit Ordinalzahlen

Für X = (−1 − 1/ℕ) ∪ (−1/ℕ) ∪ {0} ∪ (1/ℕ) ∪ (1 + 1/ℕ) werden bei jeder endlichen Ableitung die jeweiligen äußeren Endpunkte entfernt. Daher ist X⁽¹⁾ = X \ {−2, +2}; allgemein werden bei X⁽ⁿ⁾ die Punkte von −2 bis −(n+1)/n sowie von +(n+1)/n bis +2 entfernt.

Nach allen endlichen Schritten bleibt X⁽ω⁾ = {−1, −1/2, −1/3, …, 0, …, +1/3, +1/2, +1}. Von dieser Menge werden wiederum bei jedem Schritt die Endpunkte abgeschnitten. Es gilt X⁽ω·2⁾ = {0} und X⁽ω·2+1⁾ = ∅. Durch passend breitere oder „gequetschte“ Anfangsmengen können beliebige abzählbare Ordinalzahlen α auftreten, für die X⁽α⁾ = ∅ wird.

Räume mit abzählbarer Basis

In einem topologischen Raum mit abzählbarer Basis ist die Menge M ohne ihre Kondensationspunkte höchstens abzählbar: card(M \ cp(M)) < ℵ₁.

Nach dem Satz von Cantor-Bendixson, I ist jede abgeschlossene Menge die Vereinigung einer perfekten und einer höchstens abzählbaren Menge; in polnischen Räumen ist diese Darstellung eindeutig. Folglich ist jede abgeschlossene Menge entweder höchstens abzählbar oder hat die Mächtigkeit des Kontinuums.

Der Satz von Cantor-Bendixson, II besagt: Für jede Teilmenge M gibt es eine Ordinalzahl ξ < Ω mit M⁽ξ⁾ = M⁽ξ+1⁾. Die kleinste solche Ordinalzahl heißt Cantor-Bendixsonscher Grad. Die Differenzen M⁽α⁾ \ M⁽α+1⁾ bestehen aus isolierten und höchstens abzählbar vielen Punkten; die verbleibende stabile Menge M⁽β⁾ ist perfekt.