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Uneigentliches Integral | Mathe by Daniel Jung
Das Wichtigste aus dem Video
Tipp auf eine Zeit – das Video springt genau dorthin.
Transkriptautomatisch erstellt · 37 Zeilen
- Ja, uneigliches Integral. Ihr seid im Bereich Integral Rechnung. Ihr solltet die Grundlagen haben, ansonsten noch mal in die Playlist hüpfen. Ich versuche
- euch so ein bisschen auch hinzuführen in den Gedankengang uneigentlich Integral, weil es geht ja so ein bisschen auch wieder um die Vokabel Grenzwert. Erstmal
- sehr harmlose Funktion noch mal y = x². Ihr habt einen bestimmten Bereich von z.B. 2 bis 4 und sollt die eingeschlossene Fläche, ne, zwischen
- Graf und x-Achse bestimmen. Ja, Mathevokabel der Kantgefahr gebannt. Integral von 2 bis 4 für x² dx wäre Stammfunktion
- von 2 bis 4. Dann oberer Wert die vier eingesetzt ein Drittel 4 hoch 3- der untere Wert hier eingesetzt 1 2 hoch 3. Natürlich immer noch besten Klammern
- hier drum, falls ihr mal negative Werte habt. Das aber nur eine Randnotiz. So, was haben wir jetzt grundsätzlich? Ihr seht, irgendetwas ist schon anders hier
- in der Funktion. Das ist nämlich, ihr habt hier einen asymptotischen Verlauf. Das heißt, ne, die Funktion schmiegt sich hier die X-Achse an.
- Das wäre noch mal vielleicht dann, dass man sich separat noch mal anschaut und übt Grenzverhalten grundsätzlich von Funktionen. Wenn ich jetzt auch hier
- wieder von 2 bis 4 erstmal die eingeschlossene Fläche hier äh bestimmen soll in dem Intervall von 2 bis 4, dann erstmal wieder genau das gleiche
- Prinzip, ne? Ihr habt Integral von 2 bis 4 zu bestimmen für 1 dur x² dx wäre gleich. So und jetzt Stammfunktionen. Hier kommen schon wieder auch ein paar
- Grundvokabel zusammen. 1 dur x² wäre ja umgeschrieben = x hoch -2. Warum ist das besser so? Dann sollte man es einfacher haben, die
- Stammfunktion zu bestimmen, nämlich oben einen dazu addieren wäre x hoch -1 und vorne 1 dur -1. Deshalb steht dann dort 1 dur -1 -1, also -x hoch -1
- von 2 bis 4 wäre gleich minus oberer Wert eingesetzt minus und dann unterer Wert eingesetzt. Mach ich mal Klammern drum -2 hoch-
- -1, ne? Das kann man alles noch in Taschenrechner eingeben. Jetzt kommt der ähm interessante Gedankengang. Was ist denn, wenn ihr jetzt hier diese Grenze
- hier, ne, die Grenze nach rechts weg, ne, wenn ihr die verschieben würdet, 5 6 7 8 9 und immer so weiter, was würde dann hier auch optisch passieren mit der
- Fläche? Das könntet ihr dann auch ausrechnen, würde ich euch auch empfehlen. Diese Fläche hier dann wird dann jeweils immer, wenn das Intervall
- größer wird, die wird immer größer. Ähm und nicht nur immer größer, sondern so groß, dass sie irgendwann unendlich groß in Anführungsstrichen ist. Was
- passiert, wenn ihr jetzt von hier diese Grenze immer weiter verschiebt? Ja, die ausgerechneten Flächeninhalte werden auch immer größer, aber offensichtlich
- werden sie sich einem gewissen Wert neigen, weil sie zwar immer größer werden, aber das Stückchen, was größer wird, seht ihr das vom Gedanken her, ne?
- Das dieses Stückchen selber wird dann immerum kleiner. Und vom Gedankengang her, wenn man jetzt mal überlegt, okay, wir haben offensichtlich hier eine nach
- rechts offene Fläche, die aber offensichtlich dann sich einem gewissen Wert annähert. Hier wäre es so, wenn ihr das Integral dann immer bestimmt von 2
- bis 6, 2 bis 10, 2 bis 100, 2 bis 1000 und euch diese Flächenwerte aufschreibt, dann erkennt ihr eine Tendenz, dass es unendlich groß wird. Und hier, wenn ihr
- es euch aufschreibt, nähert es sich einem Wert an. Ja, das könnte dann z.B. so aussehen. Ihr rechnet Werte aus und ist jetzt mal ausgedacht, das wird dann
- beim einen kommt drei raus, beim beim nächsten Mal kommt dann 3, 8 raus, beim nächsten Mal kommt 3,9 raus, beim nächsten Mal kommt 3,99 raus,
- beim nächsten Mal kommt 3,999 und so weiter raus. Dann seht ihr, okay, das tendiert ja offensichtlich zum Wert 4. Und jetzt kommt so eine allgemeine
- Schreibweise, ne? Da hätten wir Integral. Wir fangen bei zweimal an. Ja, ich schreibe ich die zwei auch extra mal so bis und dann nehmen wir mal eine
- nach, ne, die Grenze hier nach rechts weg. Die nennen wir einfach mal t, ne? Also allgemein mit einem Buchstaben und dann nicht erschrecken für die Funktion
- 1 dur x² dx. So, was passiert jetzt? Stammfunktion und die Stammfunktion schreibe ich jetzt extra mal mit und x hoch -1 wäre ja 1
- dur x von 2 bis t. Dann setzt man den oberen Wert, ne? Den oberen Wert ist t jetzt erstmal allgemein t ein. 1 dur t
- minus untere wird eingesetzt wäre 1 dur 2. Ich schreib jetzt die zwei auch so schreiben. So und jetzt kommt eigentlich so das faszinierende, das was
- hier jetzt rauskommt, ja, wäre -1 dur t- und minus ist + 1/ und jetzt kommt eigentlich das entscheidende. Was passiert mit T? T
- nach rechts weg 6000 1 Million T wird immer größer. Und das ist jetzt eben dann die Einführung der Schreibweise
- limes t gegen unendlich, aber nicht so wie ihr es kennt beim Globalverhalten von einer Funktion, sondern für den Ausdruck
- Integral 2 bis t 1 dur x hoch 2 dx. So. So, und wenn man sich das jetzt mal anguckt, und jetzt kann man auch anhalten und mitdenken, wenn t immer
- größer wird, ja, dann wird hier unten der Nenner immer größer und eins durch eine immer größer werdende Zahl, das wird zu 0, bleibt + ein halb übrig. Und
- deshalb hätten wir hier den Flächeninhalb insgesamt dann einhalb. Und dann seid ihr beim Thema uneigentliches Integral.
- Okay.
Zum Nachlesen
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