Uneigentliches Integral | Mathe by Daniel Jung
Mathe by Daniel Jung
https://www.youtube.com/watch?v=_URTMzTwr6Q

Transkript (automatisch erstellt)

0:01 Ja, uneigliches Integral. Ihr seid im Bereich Integral Rechnung. Ihr solltet die Grundlagen haben, ansonsten noch mal in die Playlist hüpfen. Ich versuche
0:09 euch so ein bisschen auch hinzuführen in den Gedankengang uneigentlich Integral, weil es geht ja so ein bisschen auch wieder um die Vokabel Grenzwert. Erstmal
0:17 sehr harmlose Funktion noch mal y = x². Ihr habt einen bestimmten Bereich von z.B. 2 bis 4 und sollt die eingeschlossene Fläche, ne, zwischen
0:31 Graf und x-Achse bestimmen. Ja, Mathevokabel der Kantgefahr gebannt. Integral von 2 bis 4 für x² dx wäre Stammfunktion
0:45 von 2 bis 4. Dann oberer Wert die vier eingesetzt ein Drittel 4 hoch 3- der untere Wert hier eingesetzt 1 2 hoch 3. Natürlich immer noch besten Klammern
0:59 hier drum, falls ihr mal negative Werte habt. Das aber nur eine Randnotiz. So, was haben wir jetzt grundsätzlich? Ihr seht, irgendetwas ist schon anders hier
1:09 in der Funktion. Das ist nämlich, ihr habt hier einen asymptotischen Verlauf. Das heißt, ne, die Funktion schmiegt sich hier die X-Achse an.
1:17 Das wäre noch mal vielleicht dann, dass man sich separat noch mal anschaut und übt Grenzverhalten grundsätzlich von Funktionen. Wenn ich jetzt auch hier
1:25 wieder von 2 bis 4 erstmal die eingeschlossene Fläche hier äh bestimmen soll in dem Intervall von 2 bis 4, dann erstmal wieder genau das gleiche
1:34 Prinzip, ne? Ihr habt Integral von 2 bis 4 zu bestimmen für 1 dur x² dx wäre gleich. So und jetzt Stammfunktionen. Hier kommen schon wieder auch ein paar
1:48 Grundvokabel zusammen. 1 dur x² wäre ja umgeschrieben = x hoch -2. Warum ist das besser so? Dann sollte man es einfacher haben, die
1:59 Stammfunktion zu bestimmen, nämlich oben einen dazu addieren wäre x hoch -1 und vorne 1 dur -1. Deshalb steht dann dort 1 dur -1 -1, also -x hoch -1
2:12 von 2 bis 4 wäre gleich minus oberer Wert eingesetzt minus und dann unterer Wert eingesetzt. Mach ich mal Klammern drum -2 hoch-
2:25 -1, ne? Das kann man alles noch in Taschenrechner eingeben. Jetzt kommt der ähm interessante Gedankengang. Was ist denn, wenn ihr jetzt hier diese Grenze
2:36 hier, ne, die Grenze nach rechts weg, ne, wenn ihr die verschieben würdet, 5 6 7 8 9 und immer so weiter, was würde dann hier auch optisch passieren mit der
2:46 Fläche? Das könntet ihr dann auch ausrechnen, würde ich euch auch empfehlen. Diese Fläche hier dann wird dann jeweils immer, wenn das Intervall
2:52 größer wird, die wird immer größer. Ähm und nicht nur immer größer, sondern so groß, dass sie irgendwann unendlich groß in Anführungsstrichen ist. Was
3:03 passiert, wenn ihr jetzt von hier diese Grenze immer weiter verschiebt? Ja, die ausgerechneten Flächeninhalte werden auch immer größer, aber offensichtlich
3:13 werden sie sich einem gewissen Wert neigen, weil sie zwar immer größer werden, aber das Stückchen, was größer wird, seht ihr das vom Gedanken her, ne?
3:21 Das dieses Stückchen selber wird dann immerum kleiner. Und vom Gedankengang her, wenn man jetzt mal überlegt, okay, wir haben offensichtlich hier eine nach
3:32 rechts offene Fläche, die aber offensichtlich dann sich einem gewissen Wert annähert. Hier wäre es so, wenn ihr das Integral dann immer bestimmt von 2
3:41 bis 6, 2 bis 10, 2 bis 100, 2 bis 1000 und euch diese Flächenwerte aufschreibt, dann erkennt ihr eine Tendenz, dass es unendlich groß wird. Und hier, wenn ihr
3:53 es euch aufschreibt, nähert es sich einem Wert an. Ja, das könnte dann z.B. so aussehen. Ihr rechnet Werte aus und ist jetzt mal ausgedacht, das wird dann
4:03 beim einen kommt drei raus, beim beim nächsten Mal kommt dann 3, 8 raus, beim nächsten Mal kommt 3,9 raus, beim nächsten Mal kommt 3,99 raus,
4:13 beim nächsten Mal kommt 3,999 und so weiter raus. Dann seht ihr, okay, das tendiert ja offensichtlich zum Wert 4. Und jetzt kommt so eine allgemeine
4:24 Schreibweise, ne? Da hätten wir Integral. Wir fangen bei zweimal an. Ja, ich schreibe ich die zwei auch extra mal so bis und dann nehmen wir mal eine
4:33 nach, ne, die Grenze hier nach rechts weg. Die nennen wir einfach mal t, ne? Also allgemein mit einem Buchstaben und dann nicht erschrecken für die Funktion
4:42 1 dur x² dx. So, was passiert jetzt? Stammfunktion und die Stammfunktion schreibe ich jetzt extra mal mit und x hoch -1 wäre ja 1
4:54 dur x von 2 bis t. Dann setzt man den oberen Wert, ne? Den oberen Wert ist t jetzt erstmal allgemein t ein. 1 dur t
5:09 minus untere wird eingesetzt wäre 1 dur 2. Ich schreib jetzt die zwei auch so schreiben. So und jetzt kommt eigentlich so das faszinierende, das was
5:21 hier jetzt rauskommt, ja, wäre -1 dur t- und minus ist + 1/ und jetzt kommt eigentlich das entscheidende. Was passiert mit T? T
5:34 nach rechts weg 6000 1 Million T wird immer größer. Und das ist jetzt eben dann die Einführung der Schreibweise
5:44 limes t gegen unendlich, aber nicht so wie ihr es kennt beim Globalverhalten von einer Funktion, sondern für den Ausdruck
5:54 Integral 2 bis t 1 dur x hoch 2 dx. So. So, und wenn man sich das jetzt mal anguckt, und jetzt kann man auch anhalten und mitdenken, wenn t immer
6:06 größer wird, ja, dann wird hier unten der Nenner immer größer und eins durch eine immer größer werdende Zahl, das wird zu 0, bleibt + ein halb übrig. Und
6:15 deshalb hätten wir hier den Flächeninhalb insgesamt dann einhalb. Und dann seid ihr beim Thema uneigentliches Integral.
6:28 Okay.