Wie berechneten Mathematiker den goldenen Schnitt?🤔📝
Entwurzler
https://www.youtube.com/watch?v=WkOKPiCf9hE

Transkript (automatisch erstellt)

0:00 ich werde euch gleich zwei Bilder zeigen und ihr entscheidet welches euch besser gefällt wenn ihr sie seht habt ihr 5 Sekunden Zeit um eine Entscheidung zu
0:07 treffen los [Musik] geht's die Mehrheit von euch müsste das rechte Bild bevorzugen warum ist das so
0:20 neben persönlichen Präferenzen spielt der sogenannte goldene schnit hier eine entscheidende Rolle der Goldene Schnitt ist ein bestimmtes Verhältnis von Längen
0:29 das für unser Auge besonders ästhetisch wirkt wir können den Goldenen Schnitt mathematisch sogar genau angeben doch wie kommt man auf diesen Wert in diesem
0:38 Video schauen wir uns die Mathematik hinter dem Goldenen Schnitt an und was der Mathematiker Fibonacci damit zu tun hat wir beginnen dieses Video im antiken
0:47 Griechenland zu dieser Zeit bestand die Mathematik größtenteils aus der Geometrie der Goldene Schnitt wurde bereits zu dieser Zeit erkannt er wurde
0:56 aber noch nicht so bezeichnet und ein numerischer Wert wurde auch noch nicht berechnet der Mathematiker Euklid schrieb in seinem Werk Elemente bereits
1:03 die Definition des goldenen Schnitts die auch heute noch Gültigkeit besitzt die Definition ist folgende man kann eine Linie in zwei Teile teilen sodass das
1:13 Verhältnis der großen Teilstrecke zur kleinen Teilstrecke gleich ist wie das Verhältnis der gesamten Strecke zur großen Teilstrecke genau wenn das der
1:23 Fall ist würde man heute vom Goldenen Schnitt sprechen wie kommen wir jetzt durch diesen geometrischen Ansatz auf einen numerischen Wert für den Goldenen
1:30 Schnitt wir bezeichnen mit F den Goldenen Schnitt also das Verhältnis von B zu a und von C zu B wenn also F = B dur a ist können wir die Gleichung mit a
1:42 multiplizieren und erhalten f* a ist= b das werden wir gleich noch benutzen also nicht vergessen zunächst können wir jetzt sagen dass F = C dur B ist aber C
1:54 ist ja einfach nur die Summe von A und B jetzt nutzen wir aus dass f* a = b ist und erhalten = A + π* A dur π* a im Zähler können wir
2:05 das a ausklammern und im nächsten Schritt dann das a rauskürzen dann multiplizieren wir die gleiche noch mit F und erhalten ho 2 = 1
2:15 + F die Gleichung stellen wir um und erhalten ho 2 - F - 1 = 0 mit der Mitternachtsformel ergibt sich dann für F 1 +√5 dur 2 und das entspricht
2:27 ungefähr 1,618 auf diesem Weg konnt Mathematiker also einen konkreten numerischen Wert für den Goldenen Schnitt herausfinden doch neben
2:36 dem geometrischen Ansatz gibt es noch eine weitere Möglichkeit um auf den Goldenen Schnitt zu kommen im Jahr 122 verfasste der italienische Mathematiker
2:44 Leonardo Fibonacci das Buch des Abakus dort betrachtete Fibonacci ein kaninchenprem Fibonacci ging davon aus dass es zu Beginn nur ein kaninchenpaar
2:54 gibt und dieses aus einem Männchen und einem Weibchen besteht es dauert einen Monat bis die Kaninchen geschlechtsreif werden und Sie bekommen dann jeden Monat
3:02 zwei neue Kinder und das sind immer ein Männchen und ein Weibchen betrachten wir was dann innerhalb der ersten F Monate passiert im ersten Monat gibt es wie
3:12 gesagt nur das eine kaninchenpaar das noch nicht geschlechtsreif ist im zweiten Monat wird das Paar dann geschlechtsreif und im dritten Monat
3:19 bekommen sie ihre ersten zwei Kinder im vierten Monat werden die Kinder geschlechtsreif und die Eltern bekommen zwei weitere Kinder im fünften Monat
3:28 bekommen die ersten Kinder ihre eigenen Kinder und die Eltern wieder zwei neue Kinder jetzt zählen wir wie viele Paare es in jedem Monat gab na im ersten Monat
3:38 ein paar im zweiten Monat auch ein paar im dritten Monat zwei Paare im vierten Monat drei Paare und im fünften Monat fünf Paare hier machte Fibonacci eine
3:48 interessante Entdeckung die Anzahl der Paare des nächsten Monats kann man bereits durch die Anzahl der beiden vorhergehenden Monate berechnen im
3:56 dritten Monat hatten wir zwei Paare das entspricht gerade 1 + 1 im vierten Monat waren es drei Paare also 1 + 2 und im fünften Monat waren es fünf Paare also 2
4:08 + 3 Fibonacci erkannte dass man dies als mathematische Folge aufschreiben kann an + 1 also die Anzahl des nächsten Monats = an + an - 1 als die Summe der beiden
4:20 vorhergehenden Monate wobei wir als Startwerte für den ersten Monat und für den zweiten Monat 1 festlegen müssen also A0 = 1 und A1 = 1 diese Folge ist
4:30 heute als Fibonacci Folge bekannt schreiben wir die ersten folgenlieder Mal auf na ja ein und 1 sind vorgegeben das dritte Folgenglied ist dann 1 + 1
4:41 also 2 das vierte Folgenglied ist also 1 + 2 = 3 das 5 ist also 2 + 3 = 5 und so weiter dann kommen wir also auf 8 13 21 34 55 ihr fragt euch jetzt vielleicht
4:55 was die Fibonacci Folge mit dem Goldenen Schnitt zu tun hat genau das wollen wir uns jetzt anschauen ich habe hier noch mal die ersten Folgenglieder von der
5:02 Fibonacci Folge aufgeschrieben ne ihr könnt selbst sehen und jetzt wollen wir mal aufeinander folgende Folgenglieder durcheinander teilen also s Teilen jetzt
5:11 quasi das zweite Folgenglied durch das erste Folgenglied sprich 1 geeil 1 und das ist 1 als nächstes nehmen wir die nächsten
5:22 zwei aufeinander folgen also 2 ge 1 das ergibt bekanntlichermaßen 2 dann nehmen wir die nächsten also 3 ge 2 das gibt
5:36 1,5 sollte auch jeder noch hinkriegen dann die nächsten dann hätten wir also 5 ge
5:45 3 das entspricht ungefähr 1,66 Periode dann die nächsten zwei wäre 8 ge
5:55 5 ein fün entspricht der gerade 0,2 das heißt das ganze wären hier 1,6 dann gehen wir weiter 13 ge 8 jetzt fangen wir wahrscheinlich an mit der
6:07 schriftlichen Division 13 ge 8 die schriftliche Division werde ich wahrscheinlich jetzt ein bisschen
6:18 vorspulen so bei 13 ge 8 kommen wir als auf 1,625 ich werde jetzt immer auf drei nachkommerstellen hier gehen bei den Ergebnissen dann nehmen wir die nächsten
6:27 zwei Zahlen also 21 ge 13 und bei 21 ge 13 komme ich auf 1,615 wobei wir eben nur die ersten drei
6:41 nachkommerstellen berechnet haben wir sind mit der Division hier noch nicht ganz fertig dann schauen wir uns aber 44 ge 21 noch
6:51 an hier kommen wir jetzt auf 1,619 und zum Schluss schauen wir uns noch die letzten beiden Folgenglieder an also 55 ge 34
7:03 und bei der letzten Division kommen wir auf 1,617 ihr könnt vielleicht sehen dass wir uns im Laufe der Divisionen immer
7:10 näher einer Zahl annähern und vielleicht könnt ihr euch erinnern dass hier ist ziemlich nah an dem Wert für den Goldenen Schnitt dran die Vermutung
7:18 liegt also nahe dass wenn wir zwei aufeinander folgende Fibonacci Zahlen durcheinander teilen dass wir dann auch auf den Goldenen Schnitt kommen wir
7:27 wollen diese Vermutung jetzt noch beweisen ich habe hier noch mal die formale Definition von der Fibonacci Folge hingeschrieben hatten wir vorhin
7:33 schon gesehen und jetzt hatten wir den Quotienten von zwei Fibonacci Zahlen gebildet also quasi an + 1 geteilt durch eine Fibonacci Zahl davor also an wir
7:46 wissen aber dass an + 1 ja einfach die Summe von den zwei vorherigen zahlen ist also könnten wir jetzt hier schreiben einfach
7:53 an + an - 1 dur an jetzt können wir diese Summe noch auseinander ziehen ist ja ein Bruch dann hätten wir an durch an + an- 1 dur
8:11 an an dur an die gleiche Zahl durch sich selbst ist ja einfach 1 das heißt wir hten hier 1 + an - 1 dur
8:23 an jetzt wollen wir noch eine Substitution einführen und unsen Quotienten hier benennen wir sagen jetzt das
8:32 xn wäre unser Quotient also an + 1 durch an was hätten wir denn da hier vorne hätten wir also gerade eben xn ist gleich und jetzt am Ende hier hat
8:52 wir auch das rausbekommen und wenn wir das mit xn hinschreiben würden hätten wir hier 1 + und hier können wir sehen fast das gleiche wie bei xn es ist aber
9:02 um eine Zahl nach hinten verschoben ne wir haben nämlich n und n-1 das heißt dementsprechend ich schreibst mal hier hin ne xn - 1 wäre nämlich gerade
9:11 an durch an- 1 das wäre eben fast das gleiche wie hier nur dass Zähler und Nenner vertauscht sind dementsprechend bräuchten wir hier nicht + xn - 1
9:24 sondern + 1 durch xn - 1 das gleich eben aus dass Zähler und Nenner vertauscht sind das heißt wir haben diese Gleichung hier schon mal
9:33 rausgefunden wir haben ja vorhin schon gesehen dass dieses xn also unser Quotient eben sich einer Zahl annähert wo wir glauben dass es der Goldene
9:41 Schnitt ist wir wollen jetzt Fibonacci Zahlen betrachten die extrem groß sind als wir wollen dass dieses n gegen Unendlich geht wir sagen also der
9:52 limis von N gegen Unendlich von diesem quortient soll jetzt wir nennen es mal l sein für Limes der nähert sich einer Zahl an und diese Zahl nennen wir l wenn
10:05 wir das jetzt hier in dieser Gleichung berücksichtigen wenn wir also das n gegen Unendlich laufen lassen hten wir hier also
10:12 L ist gleich und hätten hier 1 + 1 durch und auch das xn- 1 auch für das geht das n gegen Unendlich also würde das auch gegen l laufen gegen diesen Grenzwert
10:27 jetzt haben wir also so eine Gleichung bekommen diese Gleichung können wir noch mit L multiplizieren dann bekommen wir also l
10:35 hoch 2 ist GLE na ja ein x L ist L + und 1 dur l mal L ist einfach 1 und jetzt könnten wir noch die beiden das L und die 1 noch auf die linke Seite
10:47 bringen also machen wir noch - L und -1 und hätten dann raus l² - L - 1 = 0 und exakt diese Gleichung hatten wir
11:02 vorhin schon bei dem geometrischen Ansatz wir haben das ganze mit der Mitternachtsformel gelöst und haben dann rausbekommen will ich jetzt auch nicht
11:09 noch mal hinschreiben l = 1 + w√5 halbe und das entspricht ja wirklich genau dem Goldenen Schnitt damit haben wir gezeigt wenn wir extrem große
11:22 Fibonacci Zahl nehmen also das n gegen Unendlich geht und die durcheinander teilen dass wir dann auch auf die Goldenen Schnitt kommen ein
11:30 erstaunliches Ergebnis dass wir bei so einer mathematischen Folge tatsächlich auch den Goldenen Schnitt finden können wir haben jetzt also zwei Varianten
11:38 gesehen wie wir in der Mathematik auf den Goldenen Schnitt kommen können einmal in der Geometrie durch das Verhältnis von Längen und auch bei der
11:46 Division von Fibonacci Zahlen zu Beginn des Videos habt ihr bereits gesehen dass der Goldene Schnitt auch in der Kunst vorkommt es gibt einige bekannte Gemälde
11:55 die Elemente enthalten deren Proportionen dem Goldenen Schnitt Ents brechen z.B die Schule von Athen von
12:04 rapael oder auch die Geburt der Venus von BTY Chelly doch auch in der Natur kann man den Goldenen Schnitt wiederfinden ein
12:13 Beispiel dafür ist z.B die samenanordnung in Sonnenblumen die Mathematik ist in vielen Bereichen nicht nur auf sich selbst beschränkt sondern
12:21 strahlt auch auf andere Bereiche des Lebens aus der Goldene Schnitt ist hierfür ein Paradebeispiel [Musik]