Differenzierbarkeit an einer Stelle, Grenzwert existiert,Differentialquotient | Mathe by Daniel Jung
Mathe by Daniel Jung
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Transkript (automatisch erstellt)

0:02 Ja, wann ist eine Funktion an einer Stelle differenzierbar? Ich möchte den fachchinesischen Satz eigentlich deutlich machen in Schaubildern. Erstmal
0:10 fachinesisch. Es existiert limes x gegen x0. Das ist die Stelle, an der ihr untersuchen sollt. Da steht dann da auch meistens, untersuchen Sie an der Stelle
0:19 x0 = 1, ob eine Funktion f(x) = x² differenzierbar ist. Hier steht ja der Differenzenquotient. Und wenn ich bei diesem
0:31 Differenzenquizent, das solltet ihr vorher schon gemacht haben, wenn ich dort jetzt x zu x0 wandern lasse, dann kriege ich ja f str von x0 die
0:42 Steigung an dieser Stelle heraus. Und man darf jetzt nicht nur einfach das betrachten, man muss im Prinzip sich deutlich machen, dass man von rechts und
0:50 von links an diese Stelle rangehen muss. Und nur wenn von beiden Seiten ausgesehen das gleiche herauskommt, dann ist die Funktion differenzierbar. Ich
0:59 mache das mal deutlich an der erstmal einfachen Funktion x², da fangen die meisten ja auch immer mit an. an der Stelle 1. Ich meine, hier sieht man es
1:07 relativ gut, wenn ihr jetzt zeichnet, ja, wenn ich jetzt von links rangehe, dann bin ich hier bei einer Steigung, die ja von rechts so wie es aussieht,
1:15 genau das gleiche ist. So hat man ja auch angefangen, um an die Steigung in einem Punkt zu kommen. Also entweder geht ihr von rechts ran oder von links
1:23 ran. Entweder mit der Hmethode oder wie in diesem Fall jetzt mit x geht zu x0 in diesem Fall an die Stelle 1. Wenn ihr dann schreibt rechts limes, ich gehe
1:34 also von rechts ran x gegen 1 für entsprechend fx - f von 1 dur x - 1. Warum diese Geschichte? Wir haben einmal den Punkt 1
1:48 F von 1 und etwas weiter rechts liegt x f von x. Das ist ja alles geklärt in den Paketen von Sekantensteigung zur Tangentensteigung mit welcher Methode
1:59 auch immer. Ihr würdet hier herausbekommen die Steigung 2 an der Stelle 1. Und das könnt ihr genauso gut von der linken Seite machen. Ich
2:08 schreibe hier auch ein x hin, weil das die Methode ist. Ich nehme allgemein x und gehe an ran. Nur jetzt gehe ich von links an die Geschichte ran gegen eins.
2:19 Hier mache ich mal jetzt Gänsefüßchen, weil ich faul bin. Kommt auch zwei raus. Ja, es kommt bei beiden zwei raus. Diese Funktion ist differenzierbar,
2:27 weil ja hoffentlich hoffentlicherweise ihr vorher auch durchgenommen habt, dass sie dort stetig ist. Jetzt nehme ich mal so ein typisches Paket. Ihr habt wieder
2:37 x², aber dann geht's so weiter. Also, es soll jetzt nicht die Form der Parabel sein, sondern eine Gerade. Dann steht ja immer gerne h
2:47 von x = und bis zur Stelle 1, also x kleiner = 1, gilt x² und ab dann gilt die Funktion 2x. Und wenn ihr jetzt an der Stelle
3:01 untersucht rechtsseitiger und linksseitiger Limis, müsst natürlich dann h von x nehmen. An dieser Stelle, wenn ihr von rechts rangehen würdet,
3:12 dann gilt jetzt diese Funktion, also 2x. Ihr untersucht und bekommt heraus, die Steigung ist wieder 2. Und wenn ihr von links rangeht, dann braucht ihr jetzt
3:24 die gesamte Funktion lautet hier h von x. Sie unterteilt sich ja eben in diese beiden Pakete. Dann braucht ihr die Geschichte hier und dafür wird auch
3:33 wieder zwei rauskommen. Dann könnt ihr sagen, an der Stelle x0 = 1 für dieses für diese Funktion unterteil die beiden Pakete
3:42 für diese Funktion oder diese Funktion ist an der Stelle x0 = 1 differenzierbar. gleiche Steigung, sowohl von links als auch von rechts
3:52 rangegangen.