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Festkommadarstellung
Das Wichtigste aus dem Video
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Transkriptautomatisch erstellt · 87 Zeilen
- und wir wollen uns jetzt überlegen wie man rationale Zahlen im Computer darstellen kann und wir werden das in drei Schritten machen ich werde nicht
- gleich damit anfangen ihnen zu sagen wie die Zahlen wirklich im Computer dargestellt werden sondern wir machen wir werden die
- Darstellung nach und nach komplizierter machen weil so wie das tatsächlich im Computer dargestellt wird ist schon relativ kompliziert ist und ich glaube
- es ist einfacher wenn wir uns Schritt für Schritt ranarbeiten das heißt die ersten beiden en Zahlen im Computer darzustellen sind nicht so wie es in
- diesem Rechner wirklich gemacht wde und auch nicht in dem Rechner den sie haben andererseits sind das aber auch nicht völlig aus der Luft gegriffene Modelle
- sondern beide Sachen die ich ihn vorher sozusagen als Einführung zeige sind zeige ich i nicht nur aus didaktischen Gründen die gibt es auch im wirklichen
- Leben ich werde ihn zunächst die sogenannte festkomma Arithmetik zeigen die finden Sie z.B heutzutage immer noch in embeded Systems oder in wenn sie z.B
- eine alte Spielekonsole haben wird das auch teilweise benutzt äh sagen wir mal so ganz grob immer wenn sie Hardware haben äh bei der aus verschiedenen
- Gründen gespart werden musste entweder wegen Energieverbrauch oder wegen kosten dann sind das häufig ähm Prozessoren ohne sogenannte floating point unit und
- wenn sie sowas nicht haben dann müssen sie rationale Zahlen durch festkomma Arithmetik simulieren also wie gesagt wenn sie zu Hause eine alte
- Spielekonsole haben kann es sein dass die intern so rechnet wie ich es ihnen gleich zeige im zweiten Schritt werde ich ihn etwas zeigen was nicht mehr
- festkomma Arithmetik sondern tatsächlich fließkomma Arithmetik ist allerdings zunächst mal weil wir das besser lesen können nicht binär sondern mit
- Dezimalzahlen auch das gibt's im wirklichen Leben wenn sie ganz viel Geld haben und Sie gehen zu IBM und sagen ich möchte ein Supercomputer kaufen dann
- verkaufen die ihn gerne ein in diesen Supercomputern sind sogenannte powerprozessoren drin und diese powerprozessoren können intern mit
- dezimaler fließkomaritm rechnen also auch das kann man tatsächlich kaufen und das gibt's im wirklichen Leben aber noch mal in den Rechnern die
- man normalerweise so in im Laden kauft und die wir so als Laptops benutzen ist etwas drin was wir erst im dritten Schritt uns anschauen
- werden das sind die sogenannten IEE Fließkommazahlen damit wir die besser verstehen können gehen wir Schritt für Schritt Rean und gucken uns
- erstmal an was man bekommen würde wenn man mit fest komm Arithmetik rechnen würde also
- festkommadarstellung festkommadarstellung funktioniert so dass Sie sich vorher überlegen dass sie für ihre Zahlen nur eine bestimmte
- Anzahl von Stellen zur Verfügung haben also wir nehmen jetzt mal Ende zahl ich sag mal wir haben nur Z Stellen zur Verfügung das könnte sich wirklich wie
- so eine wie so ein Display von so einem alten Taschenrechner vorstellen wenn sie das noch wenn Sie das mal gesehen haben wo sie dann wirklich so eine feste
- Anzahl von Ziffern hatten 2 4 6 8 10 10 Ziffern und auf jede von diesen Stellen kann ich jetzt eine Dezimalziffer schreiben und das heißt ja nicht umsonst
- fest Komma ich muss mich dann irgendwo entscheiden wo mein Komma steht und das bleibt dann da auch fest stehen damit wir jetzt irgendein Beispiel haben sage
- ich mal das Komma ist immer hier das darf dann auch nicht verrückt werden so mit dieser festkommaarithmetik können wir bestimmte Zahlen darstellen
- und bestimmte nicht da wir das dezimal machen kann ich z.B schreiben überall stehen
- Nullen und hier nicht zu vergessen ist der Dezimalpunkt das ist natürlich die Zahl ull klar oder ich könnte die Zahl muss natürlich auch vorkommen diese Zahl
- hier hinschreiben das wäre einfach die ganze Zahl 42 oder ich kann irgendwas hinter dem Komma natürlich auch
- machen das wäre die Zahl 0,5 oder einhalb oder ich kann natürlich irgendwelche wild gemischten zahlen hier
- hinschreiben das wäre die Zahl 201175 10000 die kann man noch
- kürzen das ist 201 D 4h würde ich sagen MSS mal ausrechnen zu Hause ob ich
- mich da nicht verrechnet habe aber ich glaube das ist richtig so sie sehen offensichtlich wie das
- gemeint ist mit dieser festkomm Darstellung es gibt offen ach so was ich jetzt weggelassen habe darüber reden wir später noch ist das Vorzeichen also das
- reicht für unsere Zwecke wir wollen ja nur mal gucken was man damit alles so nicht so machen kann man könnte sich jetzt noch vorstellen
- ich kann hier vorne noch Plus Minus davor schreiben das brauchen wir aber nicht wir rechnen nur mit positiven Zahlen was ist die größte Zahl die man
- hiermit darstellen kann 9,9 ja also wenn man überall neunen hinschreibt danach ist dann Schluss also
- 1000 geht schon nicht mehr man kommt so knapp an die 1000 ran aber weiter geht's nicht und null ist offensichtlich die kleinste Zahl die man hinschreiben kann
- das heißt die erste Einschränkung die man mit so einer festkommadarstellung hat ist es gibt eine kleinste Zahl unter die kommt man nicht runter und es gibt
- eine größte Zahl über die kommt man nicht rüber das ist nun noch nichts Besonderes weil wir das sogar schon von den ganzen Zahlen kennen wenn sie C oder
- Java rechnen gibt es auch eine kleinste Zahl unter die sie nicht drunter kommen und eine größte Zahl über die sie nicht rüber kommen ist schon bei den ganzen
- Zahlen so das ist aber nicht das einzige Problem es ist jetzt nicht nur so dass wir
- zahlen über der größten Zahlen nicht darstellen können Kön und Zahlen unter der kleinsten Zahl nicht darstellen können sondern fällt ih noch eine andere
- Zahl ein die obwohl sie größer als ull ist und kleiner als 999 man trotzdem nicht darstellen kann PI ist ein gutes Beispiel aber vielleicht noch was
- einfacheres erstmal periis also die periodischen Brüche könnte man z.B nicht darstellen ein Drittel wenn ich ein Drittel
- darstellen wollte dann könnte ich das höchstens angenähert darstellen also das Beste was man hinbekommen könnte wäre dass ich 73 dahinter mache also das ist
- nicht ein Drittel sondern das ist nur ungefähr ein Drittel Pi ist ein Beispiel was nicht geht alle periodischen Brüche vi können Sie mir eine Zahl sagen die
- äh ein Bruch ist die auch tatsächlich eine abbrechender Dezimalbruch wäre also die man mit endlich viel nachkmastellen hinschreiben könnte und die trotzdem ich
- hiermit nicht darstellen kann eine Milliardstel ein Milliardstel z.B also ein Milliardstel wäre 10 hoch -9 das wäre wenn man es richtig hinschreiben
- würde die Zahl [Musik] 0,001 und diese Zahl kann ich natürlich auf meinem Rechner nicht darstellen weil
- ich ja nur sieben Nachkommastellen zur Verfügung habe ich müsste also an dieser Stelle hier abbrechen das heißt die den Häkchen
- angenäherte Darstellung auf meinem Rechner wäre diese Zahl hier die ich nicht von der Null unterscheiden kann ja also die
- kleinste Zahl die ich mit dieser festkomm Darstellung darstellen kann ist die 0 die nächste Zahl die ich darstellen kann ist diese
- hier zwischen diesen beiden Zahlen denken Sie an das Bild was ich gerade vom Zahlenstrahl hatte liegen aber unendlich viele rationale Zahlen diese
- unendlich vielen rationalen Zahlen die zwischen diesen beiden Zahlen liegen kann ich alle nicht genau darstellen jede von diesen Zahlen die dazwischen
- liegt wird entweder als 0 oder als 0,001 dargestellt je nachdem was näher dran liegt aber auf jeden Fall ist sie nicht richtig das ist erstmal ein
- grundsätzliches Problem von diesem Modell was ich hier mit der festkomarithmetik habe wie viel verschiedene Zahlen kann ich denn mit
- dieser Darstellung darstellen wie viel verschiedene Zahlen kann ich exakt darstellen vergessen sie mal die die ich alle nicht darstellen kann denken Sie
- mal nur über die nach ich darstellen kann z.B 0 kann ich darstellen 42 ein/behen ja ein paar Beispiele wie viel verschiedene Zahlen kann ich so exakt
- darstellen ja wieso 9 hoch 10 sie sind fast richtig aber 9 ist nicht ganz richtig ja sie haben für jede Stelle 10
- Möglichkeiten und insgesamt haben wir ze stellen also 10 10 x 10 und so weiter also sie haben 10 hoch 10 Zahlen die sie darstellen
- können das sind 10 Milliarden zahlen das ist ja nicht wenig ne also dass wir haben nur Zeh Stellen zur Verfügung wir können 10 Milliarden
- Zahlen darstellen aber 10 Milliarden ist natürlich nichts gegen unendlich viele Zahlen die wir nicht darstellen können was wir hier jetzt sehen ist ein
- grundsätzliches Problem was auch in allen späteren Modellen die wir uns anschauen nicht sich ändern wird wir können immer im Prinzip ausrechnen wie
- viel zahlen wir mit der begrenzten Anzahl von Stellen darstellen können das werden teilweise wahnsinnig große Zahlen sein wo wir erstmal mit offenem Mund
- davorstehen und sagen wow das sind aber viele Zahlen viel mehr als 10 Milliarden z.bpi aber äh da es unendlich viele rationale Zahlen gibt bedeutet das immer
- dass die meisten zahlen wir nicht darstellen können das wird eigentlich in all diesen Darstellungen immer unser Hauptproblem sein
- m vielleicht noch mal was zu den Begriffen falls ih die mal über den Weg laufen solche Zahlen die man tatsächlich richtig darstellen kann wie diese vier
- Beispiele hier also die wirklich in unserem Modell richtig dargestellt werden die nennt man
- maschinenzahlen also man würde z.B sagen die Zahl 42 ist eine maschinenzahl weil ich sie mit dieser also im Bezug auf meine festkomma Darstellung mit
- insgesamt Zeh Stellen davon sieben nach dem Komma in Bezug auf diese Darstellung ist 42 eine maschinenzahl ein/b ist eine maschinenzahl 201 34h ist eine
- maschinenzahl 1 Drittel ist keine maschinenzahl weil ich sie nicht exakt darstellen kann 10 -9 ist keine maschinenzahl weil ich sie
- nicht exakt darstellen kann das ist der Unterschied die Zahlen die man exakt darstellen kann sind die maschinenzahlen die anderenzahlen die keine
- maschinenzahlen sind sind die bei denen man bei der Darstellung Kompromisse eingehen muss was man möchte ist dass bei den
- Zahlen die man nicht richtig darstellen kann man dann zumindest die maschinenzahlen nimmt die so nah wie möglich dran liegt also ich habe ja eben
- schon hier ein Beispiel oder zwei Beispiele gemacht für ein Drittel habe ich die Zahl genommen
- 0,3333333 die ich auch schreiben könnte als 3333333 geeilt durch 10 Millionen also als Bruch das wäre eine maschinenzahl
- und das ist die beste Näherung weil wenn ich da hinten jetzt eine Stelle ändere wenn ich aus der 3 eine Z 4 mache dann werde ich in beiden Fällen was bekommen
- was noch ein bisschen weiter weg von dem richtigen Wert ein Drittel ist also bei Zahlen die man nicht richtig darstellen kann haben Sie die
- folgende Situation sie haben die Zahl sie haben ein nährungswert den schreib ich mal x Schlange das ist die
- maschinenzahl weil die beiden Zahlen nicht gleich sind ist der Unterschied zwischen den beiden irgendein
- Wert diesen Wert nennt man den absoluten Fehler oder wenn Sie so wollen auch den Rundungsfehler
- und sie wollen dass dieser Rundungsfehler dieser absolute Fehler möglichst klein ist das macht Ihr Computer normalerweise automatisch das
- heißt das haben wir jetzt ja schon gesehen sie geben einfach sowas ein wie ein Drittel der Computer kann das nicht genau ausrechnen aber er wird
- typischerweise dafür sorgen dass das Ergebnis was rauskommt das Beste ist was sich mit maschinenzahlen machen lässt also Sie können sich elich drauf
- verlassen was immer sie benutzen ob sie fließkomma Arithmetik oder festkomma Arithmetik ob dezimal oder binär äh wenn sie mit irgendwelchen Zahlen hantieren
- also wenn die Ergebnisse von Berechnung irgendwelche Zahlen sind die nicht maschinenzahlen sind dann wird der Computer Ihnen als Ergebnis eine
- maschinenzahl liefern die so nahe wie möglich am richtigen Ergebnis dran ist das klingt erstmal ziemlich gut aber wir werden noch sehen dass das trotzdem
- häufig nicht genug ist
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