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IEEE 754 - Fließkommazahlen/Gleitkommazahlen
Das Wichtigste aus dem Video
Tipp auf eine Zeit – das Video springt genau dorthin.
Transkriptautomatisch erstellt · 64 Zeilen
- [Musik] [Musik] hallo leute herzlich willkommen bei
- nordwest in diesem video möchte ich euch den apple ii standard 754 etwas näher bringen was heißt es auf deutsch geben das thema
- fließkomma zahlen also wie speichert mein computer komma zahl ab und ja einen gewissen szenarien kann es sogar zu nehmen das mal rechenfehlern kommt man
- ist jetzt auf den ersten blick so aus genau das möchte ich euch nämlich jetzt einmal hier mit diesem kleinen demo programm sich geöffnet habe zeigen
- ich werde euch dann gleich auch sagen dass das was ihr seht keine rechenfehler ist sondern ganz einfach an der fließkomma zahl arithmetik im
- binärsystem liegt aber wer vorher erstmal blick auf dieses programm das ein kleiner taschenrechner ganz einfaches programm wir haben 2,2 und b
- und die werde ich jetzt hier gleich per scan f einlesen erst die zahl dann die zahl w und schließlich gebe ich die summe aus a + b also ein ganz trivial
- das programm und wir starten das ganze erstmal erstmal hier mit 10 + 10 ergibt 20 wunderbar funktioniert so jetzt machen
- wir das ganze mal ein bisschen aufwendiger wenn eben mal 100 plus 100,4 wir reden hier über zahlen und wir mal was jetzt als ergebnis rauskommt
- das sieht interessant aus die summe ergibt 203 9 994 komisch weil eigentlich sollte doch 204 rauskommen 100 plus 104 ist 204
- dem ist aber so nicht ist das jetzt ein fehler naja sagen wir mal so es liegt an der vielzahl arithmetik im binärsystem
- deswegen zeige ich euch jetzt im folgenden wie eigentlich der computer solche komma zahlen abspeichert und wie es zu solchen fehler hier kommen kann
- so ich zeige euch die darstellung der fließkomma zahlen mal mit hilfe vom typ float also mit der größe 32 bit und ihr seht hier die aufteilung von diesen 32
- bit das heißt hier ganz vorne haben wir ein bit das ist das vorzeichen der mann kasse kommen wir gleich dazu was genau ist dann haben wir für den exponenten 8
- bit und 23 bit für die mantis sowie können jetzt zahlen dargestellt werden kann ich jetzt jeden teilnehmer zum az darstellen als man tische m x der basis
- hoch exponent jetzt sind zumindest im normalen sprachgebrauch eigentlich immer im dezimalsystem unterwegs das heißt die basis hier wäre 10
- doch der rechner arbeitet ja nicht im dezimalsystem sondern im binärsystem dort wäre die basis also der wert 2 nehmen wir mal erst ein beispiel aus dem
- dezimalsystem zum beispiel die zahl 318i kann ich dir jetzt darstellen mit mantel und exponent man tische wäre 3,18 x der basis 10 hoch zwei und das ist dann die
- darstellung für die 318 im dezimalsystem im binärsystem haben wir halt keine zehn hier stehen sondern dann steht als basis dort eine 2 die fließkomma zahlen werden
- im eintritt 754 in der regel normalisiert abgespeichert so was heißt jetzt normalisiert normalisiert heißt das in der man tische vor dem komma
- genau eine ziffer ungleich 0 steht und wo es im dezimalsystem da also noch mehrere möglichkeiten gab gibt es im binärsystem eben nur genau eine einzige
- ziffer ungleich 0 und das ist die 1 also jede normalisierte binäre mantis beginnt mit einer 1 dann brauche ich die auch nicht explizit abzuspeichern das wird
- also implizit angenommen dass eine eins vor dem komma steht wir müssen also lediglich nur die
- nachkommastellen der mantis abspeichern so kommen wir mal zum exponenten für den exponenten haben wir 8 bit können also die nährwerte von null bis 255
- darstellen wobei 0 und 255 reserviert wir haben also tatsächlich übrig die werte 1 bis 254 beim exponenten muss man allerdings noch beachten dass man die so
- genannte verschiebe distanz von 127 noch subtrahieren muss warum da kommen dann gleich zu also wenn ich jetzt werte von 1 bis 254 darstellen kann und jetzt
- diese verschiebe distanzen und 107 20 immer ab 4 bleibt also effektiv der folgende werte bereich übrig für die exponenten - 126
- bis 127 das heißt es sind auch negative exponenten möglich so jetzt kommen wir zu den punkt was man denn davon hat dass man diese verschiebe distanz von 127
- abzieht es hat einfach damit zu tun dass man auf diese art und weise eine sehr einfache darstellung bekommt um mehrere
- gleitkommazahlen miteinander zu vergleichen in bezug auf ihre größe ich kann also sehr schnell ablesen welche gleich zahl ist größer als eine andere
- ganz einfach daran zu erkennen die gleichzahl die am weitesten vorne eine eins stehen hat ist die größte also ich kann mehr oder weniger lexikon
- grafisch diese gleitkommazahlen miteinander vergleichen in der anderen darstellung also ohne das abziehen der verschiebe distanz wäre das
- weitaus aufwendiger gleitkommazahlen auf ihre größe hin zu untersuchen also miteinander zu vergleichen so jetzt wird es aber zeit für ein
- beispiel so ich bin auf einer internetseite mit einem triple 754 converter geschrieben javascript und den link packe ich euch gleich noch dazu
- dann könnte das auch selber einmal aufrufen und probieren und ja mit diesem javascript was ihr hier seht werde ich euch
- das ganze noch mal versuchen ein bisschen mehr zu bringen also erst mal haben wir die aufteilung die ich gerade an der tafel ja auch schon gezeigt habe
- was vorzeichen vorne dann haben wir hier für den exponenten 8 bit und 23 hinten für die mantis so jetzt machen wir folgendes ich gehe
- jetzt mal hier den wert 100 1 nun schauen wir uns mal an was da jetzt genau passiert ist also beim exponenten nach fangen wir mal an
- jetzt steht hier zwei hoch 633 sowie hängt das ganze jetzt zusammen wir gucken uns mal an woher diese häkchen und diese klein kreuzchen gesetzt wurden
- in den checkboxen hier wo man mauszeiger sich gerade befindet haben wir ja zwei hoch 0 man geht das hier hoch bis zwei hoch 7
- und dann müssen wir überall dort wo halt hier die checkbox aktiviert ist den wert ausrechnen und die summe bilden also zwei hoch 0 + 2 hoch zwei plus zwei hoch
- 7 das ergibt 133 wir haben hier 128 +4 +1 jetzt kommt aber noch die verschiebe distanz von 127 abziehen muss also
- eigentlich muss ich hier rechnen 133 -127 das sind 6 zur basis 2 also zwei hoch 6 das ist mein exponent den ich brauche für die 100 so die frage ist
- allerdings wie komme ich jetzt mit der mantis auf dem tatsächlichen wert 100 denn ich habe jetzt hier zwei hoch 6 das ist ja nicht 100 ich muss also zwei hoch
- 6 mit irgendwas multiplizieren damit ich auf den wert 100 komme und das steht eben in der man tiffe hier sehen wir den wert 1 56 25 damit muss ich zwei hoch 6
- multiplizieren um auf den wert 100 zu kommen wie wird also jetzt 15 625 dargestellt die eins vor dem komma die ist immer da
- die brauche ich jetzt hier nicht explizit angeben die frage ist also wie kriege ich dieses 0 5 625 dargestellt mit der band ist ja hier geht das ganze
- im prinzip in die andere richtung das heißt hier vorne wenn die erste checkbox aktiviert ist heißt das so viel wie ein halb dann haben wir hier bei der
- zweiten scheck box hätten wir ein viertel an mit mir ein achter ein sechzehntel wir haben also jetzt hierbei ein halb und bei 1 16 die häkchen drin
- in den checkboxen und auch das muss ich jetzt agieren also 05 +0 06 25 und so habe ich dann hier die nachkommastellen der mantis und fertig
- ist jetzt mein produkt zwei hoch 6 x 156 25 und das ergibt diesen wert 100 die 100 funktioniert also äußerst gut das heißt hier in der man tische die
- nachkommastellen kann ich ganz präzise berechnen um dann letztendlich hier auf den wert 100 zu kommen aber jetzt machen wir mal ein bisschen
- anders werden ja gerade auch in der taschenrechner am anfang 100 plus 104 gerechnet deswegen gebe ich jetzt mal hier 100,4 ein und wir gucken mal was
- jetzt passiert zunächst einmal hier vorne der exponent er bleibt gleich da haben auch wieder zwei hoch 6 aber die man müsse sich jetzt schon deutlich
- länger aus das problem ist jetzt also ich muss diese zwei hoch 6 mit einer zahl multiplizieren die unendlich viele nachkommastellen besitzt denn nur
- darüber könnte ich dieses 0,4 oder das hinter dem komma genau darstellen ich muss also jetzt im prinzip eine summe von brüchen konstruieren in der
- mantis um diese 0,4 darzustellen aber das ist wenn man das bi näher betrachtet periodischen das zeige ich euch jetzt nochmal an der tafel so jetzt nehmen wir
- mal hier die 04 x 208 also schon eine null hin und die 08 nehmen wir in die nächste 208 x 2 ist
- 16 also schauen wir die einst hier in den rest 06 in die nächste zeile mal zwei ist 12 also schaue mir die einst in den rest also 02 schreibe hier in marl 2
- ist 04 schreiben wieder hierhin 0 4 mal 2 und jetzt sehen wir wir sind im prinzip wieder hier oben angekommen das ganze geht von vorne los also
- eigentlich ist 04 binär betrachtet eine periodische zahl tja und wie kann es jetzt zu diesem rechenfehler kommen dem er ganz am anfang in diesem
- taschenrechner beispiel hatten nun es gibt gewisse zahlen die lassen sich im binärsystem eben nur annäherungsweise darstellen und so kann
- es zu solchen unerwarteten anzeigen kommen dann in der ausgabe so damit sind wir am ende des videos angekommen und ja ich hab bis zum nächsten mal
- erneut west
Zum Nachlesen
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