Partielle Integration (Herleitung & Beispiel)
Mathe - simpleclub
https://www.youtube.com/watch?v=S5MopJe3iuk

Transkript (automatisch erstellt)

0:00 echt typisch kaum hat man mal was verstanden kommt der Lehrer und macht's noch schlimmer Integration kennt ihr alle aber was zum Fick ist eine
0:08 partielle [Musik] Integration klingt erstmal mega
0:16 kompliziert partielle Integration ist es aber in Wirklichkeit gar nicht aber lasst uns vorher mal ganz anders anfangen beim Ableiten von dem Produkt
0:25 aus zwei Funktionen wenn ihr das Ableiten wollt klar die Produktregel u mal V abgeleitet ergibt u mal V + U mal V lasass es mal noch umschreiben u v =
0:37 KL auf U mal v- u mal V wenn die Umformung zu schnell ging einfach selbst auf dem Papier machen warum wir das so dumm umformen seht ihr später immerhin
0:47 wollen wir doch was integrieren genau mal angenommen ihr wollt eine Funktion integrieren und egal was ihr macht kein Ahnung was da rauskommen soll ihr kriegt
0:55 es nicht hin weil euch die mathtee einfach jedes Mal wieder von neuem einer reinbrezelt dann gibt's auft den Trick es geht nämlich manchmal dass sich eure
1:03 Funktion als Produkt von zwei anderen Funktionen schreiben lässt dann sagen wir hey der erste sieht aus wie eine Ableitung von irgendwas deshalb nennen
1:11 wir den mal u von x und der zweite sieht dann ganz normal aus den nennen wir mal V von X dann sieht ja euer integral plötzlich so aus integrale über u von X
1:21 mal V von X einige von euch haben bestimmt mitgedacht wir haben ja nicht ohne Grund vor die Produktregel wiederholt und umgeformt wir können ja
1:28 jetzt in das Integral anstatt der linken Seite u mal V die rechte Seite einsetzen also anstatt das Integral über u mal V zu bilden nehmen wir jetzt
1:39 Klammer auf U mal v- u mal V ganz wichtig hier oben stand ein Minus dazwischen also haben wir hier jetzt auch ein Minus dazwischen und zwei
1:48 integrale so was bringt uns das jetzt guckt euch mal das vor Minus auf der rechten Seite an zuerst leit die ab nur um dann wieder die Stammfunktion zu
1:57 bilden und die Grenzen einzusetzen sparen wir uns das einfach und setzen gleich in U mal V einfach die Grenzen ein dann sieht das insgesamt so aus
2:06 links vom minus haben wir den Kram direkt in die Grenzen eingesetzt aber rechts davon immer noch das Integral junge das sieht echt kompliziert aus das
2:13 soll was bringen zuerst mal V kennen wir ja noch von vorhin das war ja der zweite Term in im Produkt und um V Strich zu kriegen genau dazu leiten wir das V
2:23 einfach ab klar umgekehrt hatten wir vorin ja den ersten term ustrich genannt um jetzt auf U zu kommen müss wir die Stammfunktion von uich bilden die
2:32 Konstante die bei jeder Stammfunktion immer dazu kommt ist hier egal wenn wir das haben können wir den Teil in den eckigen Klammern ganz einfach ausrechnen
2:41 einfach u mal V nehmen und einsetzen fertig die eigentliche Schwierigkeit ist jetzt haben wir ja ein neues integral anstatt Integral über u mal V ist es
2:51 jetzt über u mal V aber manchmal kann man das neue integral lösen während man es mitm alten nicht hinkriegt und genau dann bringt einem das mit den ganzen US
3:00 und V was ihr habt euch sicher schon gedacht das ganze hier ist die partielle Integration das ganze war jetzt natürlich brutal trocken deshalb machen
3:09 wir jetzt das typischste Beispiel von allen x mal e hoch x und als Grenzen nehmen wir einfach mal 0 und 1 wie macht man das jetzt los geht's mit der
3:19 Vorbereitung Schritt 0 was ist unser Produkt genau x* e hoch x dann geht's schon mal ab zu Schritt 1 u und v zuordnen was vom Produkt ist uich und
3:31 was V welches ihr wem zuordnet entscheidet nämlich ob es am Ende klappt deswegen auch gleich merken wenn es mal nicht hinhaut mit der partiellen
3:39 Integration einfach mal versuchen stattdessen das erste V und das zweite uich zu nennen und so noch mal probieren weil wir schon wissen wie es geht raten
3:47 wir jetzt mal ganz zufällig wir nehmen e hoch x als und X als V top ab zu Schritt 2 u und v berechnen um weiterzumachen müssen wir
3:59 jetzt auch noch die Ableitung von x und die Stammfunktion von E hoch x ausrechnen klar das kriegt ihr hin x abgeleitet ist 1 und e hoch x
4:09 aufgeleitet wieder e hoch x weil e hoch x abgeleitet ergibt e hoch x Schritt 3 einsetzen setzen wir das doch einfach mal in die Definition von der partiellen
4:19 Integration ein weil man dabei auf einiges achten muss gibt's einen eigenen Schritt dafür die linke Seite ist ja das was wir ausrechnen wollen aber nicht
4:27 können normal die rechte Seite wollen wir jetzt ausrechnen es steht mit unseren zahlen dann das da vorne e hoch x mal x und da einfach als Grenzen 1 und
4:36 0 hinten ist es Integral über e hoch x von 0 bis 1 achtet auf die Grenzen und vor allem auf das Minus in der Mitte das können wir alles lösen nämlich im
4:46 Schritt 4 lösen vorne setzen wir jetzt die Grenzen ein also zuerst die 1 ergibt e hoch 1 x 1 die untere Grenze 0 eingesetzt also e hoch 0* 0 1* e ist e
5:00 und hinten steht mal 0 also kommt 0 raus der vordere Teil ist also e und hinten das Integral kriegen wir auch hin zuerst müssen wir e hoch x aufleiten ja das
5:10 heißt nicht aufleiten aber modz nicht rum so versteht wenigstens jeder e hoch x aufgeleitet ergibt e hoch x und hinten nicht die Grenzen vergessen die Grenzen
5:19 setzen wir ein dann kommt e hoch 1- e hoch 0 raus irgendwas hoch 0 ist immer 1 und gesamt ist damit unser Ergebnis E- Klam auf E - 1 Klammer zu weil ich das
5:31 Vorzeichen umdreht kommt dann raus 1 das heißt ist integral über x mal e hoch x von 0 bis 1 ist 1 oder so schwer war es doch gar nicht dann mal hier was zum
5:42 Üben für euch nämlich unsere Aufgabe integriere den Sinus von X mal x von 0 bis PI partiell ob ihr das richtig raush habt seht ihr wie immer im lösungsvideo
5:52 einfach hier rechts klicken und erfahren wie man mit dem Sinus partiell integriert haut rein und wie immer guten Rutsch ciao