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Klausur UNI Mathe – Beweis durch Vollständige Induktion
Das Wichtigste aus dem Video
Tipp auf eine Zeit – das Video springt genau dorthin.
Transkriptautomatisch erstellt · 80 Zeilen
- hallo ihr Lieben heute möchte ich euch an diesem Beispiel zeigen wie die vollständige Induktion funktioniert wir sollen zeigen dass für alle n aus den
- natürlichen Zahlen mit n echt größer als 0 diese Aussage hier gilt also dass man diese Summe auf der linken Seite immer auch so berechnen kann und da wir diese
- Aussage für alle natürlichen Zahlen echt größer als Null zeigen sollen eignet sich die vollständige Induktion hier hervorragend und wir gehen die einfach
- in diesen drei Schritten durch und dann haben wir das ganze gezeigt erster Schritt der Induktionsanfang der ist immer ganz lieb zu uns denn beim
- Induktionsanfang das hier ist das was wir beweisen sollen müssen wir einfach drauf schauen was ist denn unser erstes n also ab wo soll das Ganze starten für
- dass diese Aussage gelten soll und da stand ja für alle n echt größer als 0 also die erste natürliche Zahl echt größer als 0 ist dann n = 1 und wir
- setzen einfach für jedes n was wir hier irgendwo finden können wir können die alle mal grün markieren für jedes n setzen wir ein ein und schauen ob die
- Gleichung gilt auf der linken Seite haben wir dann diese Summe stehen von k k wird nicht abgeändert das ist nur der Index von unserer Summe aber da ist ein
- grünes n da setzen wir 1 ein und da ist wieder ein K in unserer Summe das ersetzen wir nicht das lassen wir so stehen aber wir schauen ob das dann die
- Rechte Seite ergibt auch da für jedes N1 eingesetzt das heißt wir haben D ein x 1 + 1 kann man schon mal ausrechnen sind 2 2* 1 sind 2 + 1 sind 3 das ist das was
- im Zähler steht und die 6 im Nenner schauen wir wie wir die Summe hier auf der linken Seite berechnen können K ist unser Index der läuft der startet bei K
- = 1 das heißt wir setzen für jedes K was wir hier finden 1 ein dann haben wir ja 1 hoch 2 stehen und dann ist die Summe auch schon vorbei denn sie läuft nur von
- K = 1 bis 1 also wir haben nur einen summanten da läuft nichts weiter 1 steht also auf der linken Seite 1 zum Quadrat können wir auch einfach als ein dann
- schreiben und auf der rechten Seite wenn wir das Ausrechnen 2 x 3 sind 6 geil 6 ergibt auch 1 also unser Induktionsanfang stimmt die Gleichung
- funktioniert für n = 1 und das ist auch schon alles was ihr machen müsst dann haben wir den Induktionsanfang erledigt zweiter Schritt die
- Induktionsvoraussetzung die ist jetzt noch einfacher als der Induktionsanfang denn hier müssen wir gar nichts rechnen wir müssen nur eine Sache hinschreiben
- und zwar bei der Induktionsvoraussetzung kommt jetzt folgendes hin wir haben ja gerade im Induktionsanfang ein N gefunden für dass
- diese Aussage hier stimmt und das Schreiben wir jetzt einfach hin es existiert ein N aus den natürlichen Zahlen wenn bingung da dran hattet muss
- ihr jetzt noch mit dazu also unser n sollte ja echt größer als ull sein sodass die Aussage die wir zeigen sollten stimmt also soass diese
- Gleichung hier gilt die könnt ihr dann einfach von eurem Blatt von eurem Aufgabenblatt einmal abschreiben kommt einem so ein bisschen witzlos vor aber
- die Induktionsvoraussetzung ist super wichtig im weiteren Verlauf deswegen merkt euch die ich markiere die jetzt
- hier mal grün die wird gleich noch mal auftauchen die werden wir irgendwo einsetzen müssen aber ansonsten hier be bei dem Schritt jetzt erstmal einfach
- nur das da einmal hinschreiben und dann haben wir auch schon die Induktionsvoraussetzung hinbekommen dritter Schritt der
- induktionsschritt da passiert jetzt die Meisterarbeit weil bisher war ja noch nichts im induktionsschritt müssen wir jetzt von N
- auf n + 1 schließen das heißt wir müssen erstmal schauen was jetzt zu zeigen ist für uns wir sollen nämlich jetzt diese Aussage gar nicht für n zeigen das ist
- die nämlich so wie sie hier steht sondern für n + 1 also jetzt müssen wir erstmal für jedes n was wir hier irgendwo finden n + 1 einsetzen damit
- wir sehen können was wir überhaupt zu zeigen haben das macht ihr einfach immer für jedes n n + 1 einsetzen das heißt auf der linken Seite K lassen wir so wie
- es da steht aber da ist ein N da setzen wir n + 1 ein K steht da wieder das lassen wir so wie es ist und auf der rechten Seite da geht ein bisschen mehr
- ab da haben wir ein N ersetzen wir durch n + 1 schöne Klammer drumrum denn all das soll ja multipliziert werden mit der nächsten Klammer da ist wieder ein N
- drin ersetzen wir durch n + 1 da müssen wir dann aufpassen denn hinten dran kommt ja auch noch eine + 1 die da vorher schon stand kann man auch
- zusammenrechnen 1 + 1 ergibt dann schon mal Z Klammer zu und in der nächsten Klammer haben wir zweimal das grüne n ersetzen wir durch n
- + 1 also schön eine Klammer drum herum und hinten dran kommt dann auch noch die + 1 und im Nenner haben wir die sechs stehen kann man schon mal ein bisschen
- vereinfachen hier das können wir lassen können wir lassen aber hier hinten die Klammer da können wir noch ein bisschen was auflösen 2 x n sind 2n und 2 x 1
- sind 2 und hinten dran die + 1 noch dazu das sind dann 2 und 1 sind 3 also die hintere Klammer können wir vereinfachen zu 2 n + 3 und dann wissen wir schon mal
- was wir jetzt zu zeigen haben das habe ich jetzt mal noch mal auf die nächste Seite geschrieben wir befinden uns immer noch im induktionsschritt das rote ist
- das was wir noch zeigen müssen aber das grüne habt ihr euch das gemerkt das ist ja die Induktionsvoraussetzung die dürf wir ab
- sofort benutzen das heißt sobald wir auf eine Summe stoßen die so aussieht die hier bis n läuft dann dürfen wir diese Summe durch diesen Ausdruck hier
- ersetzen also immer diese Induktionsvoraussetzung im Hinterkopf haben wo wir hin wollen also wir wollen sowas hier erschaffen dass wir das durch
- das hier ersetzen können aber an das rote müssen wir ran das heißt wir starten mal auf der linken Seite nehmen uns diese Summe von K = 1 bis n + 1 und
- schauen wie wir die jetzt umformen können dass wir die Induktionsvoraussetzung anwenden können diese Summe läuft bis n + 1 das ist ein
- sumant zu viel wir wollen ja nur bis n laufen aber bei Summen ist es kein Problem wir können die in zwei Summen aufteilen einfach eine Summe plus noch
- eine zweite Summe die erste Summe startet halt bei K = 1 und läuft dann nicht bis n + 1 sondern nur bis dahin wo wir sie halt haben wollen nur bis N und
- die zweite Summe macht dann den Rest der Nachfolger von N ist eben n + 1 und bis wohin sollte unsere Summe insgesamt laufen bis n + 1 na dann tragen wir das
- hier oben ein das was in der Summe stand verändert ihr nicht das kommt einfach noch mal mit rein und jetzt haben wir es nämlich direkt schon geschafft dass hier
- der Teil so steht dass das genau unsere Induktionsvoraussetzung ist und das können wir jetzt durch diesen Teil ersetzen also markiert das dass ihr hier
- die Induktionsvoraussetzung anwendet und statt dieser Summe schreiben wir jetzt den Teil dahin also diesen großen Bruch einfach einmal abschreiben das ist
- unsere Induktionsvoraussetzung die muss immer irgendwann mal angewendet werden was wir nicht vergessen dürfen hinten dran steht halt noch eine Summe die
- müssen wir jetzt mal ausrechnen denn die läuft ja nur von n + 1 bis n + 1 das ist nur ein sumant also nur n + 1 müssen wir hier für das K einsetzen das heißt da
- steht wenn wir das machen statt dem K schreiben wir n + 1 hin dann müssen wir mal eine Klammer drum rum machen denn das sollte ja noch quadriert werden und
- dann können wir das einfach machen wir haben es also geschafft das sieht schon sehr gut aus nachdem hier noch nicht perfekt aber schon ähnlicher als unsere
- Summe deswegen das ist der Zwischenschritt den habe ich jetzt noch mal hier stehen soweit sind wir bisher gekommen mit
- unseren Umformungen jetzt müssen wir nur schauen dass wir noch weiterkmen wir haben immer einen Blick auf das wo wir hin wollen das soll so aussehen von der
- Struktur ist noch nicht der Fall das ist nur ein großer Bruch wir haben hier momentan einen Bruch plus was anderes deswegen lasst uns diese beiden Teile
- mal zusammenfügen also wir machen hier auch einen Bruch draus mit Nenner se das geht aber nur wenn wir im Zähler auch eine sech hinzufügen dann haben wir aber
- zwei Brüche mit identischem Nenner die dürfen wir addieren indem wir die Zähler addieren wenn ich hier mal ein bisschen rumschiebe der Nenner wird nur eine
- Sechs werden also eine Sechs kann weg und hier machen wir auch einen großen Bruchstrich draus und dann haben wir von der Struktur schon mal was sehr
- ähnliches geschaffen einen großen Bruch und der Nenner ist schon mal identisch das heißt an den müssen wir nicht ran aber der Zähler sieht noch nicht so aus
- wie da also müssen wir mal schauen wie wir das irgendwie angleichen können wir haben hier drei Klammern die miteinander multipliziert werden das haben wir hier
- noch nicht wir haben hier eigentlich eine große Summe das ist noch nicht so gut wir wollen ein Produkt hinbekommen das kriegen wir hin indem wir Dinge
- ausklammern und wenn wir mal schauen was hier doppelt vorkommt dann haben wir hier vorne einmal das n + 1 und das kommt auch hier hinten vor und
- praktischerweise ist es auch ein Faktor in dem Produkt hier also das ist ein sehr guter Plan dieses n + 1 hier aus der Summe
- auszuklammern dann haben wir hier einen großen Bruchstrich die 6 können wir mal übernehmen und das n + 1 ziehen wir da jetzt mal raus große Klammer was bleibt
- übrig hier das n und die andere Klammer aus dem ersten zoomanten dann kommt das Plus und hier hinten das grüne rausgezogen bleibt die sech übrig und n
- + 1 war ja doppelt drin also bleibt ein n + 1 noch drin große Klammer zu wenn wir es jetzt wieder vergleichen haben wir jetzt n + 1 als Faktor hier
- rausgezogen das ist sehr gut aber der hintere Teil ist noch nicht ganz so das was hier steht man könnte gucken ob man noch weiter was ausklammern kann weil
- wir haben hier schon wieder eine Summe ist aber diesmal nicht der Fall deswegen würde ich hier dann an der Stelle vorschlagen lösen wir mal die Klammern
- erstmal auf und gucken was da so rauskommt also die se übernehmen wir n + 1 hier vorne ist super das fassen wir nicht an genau das wollen wir haben aber
- hier lösen wir mal auf n* 2n sind 2n hoch 2 n* 1 sind n und hier hinten die Klammer aufgelöst 6* n sind 6N und 6* 1 sind 6 das können wir
- gerade noch ein bisschen zusammen passen 1 N und 6N sind insgesamt 7 n und das hier diesen Zwischenschritt habe ich jetzt mal noch mal hier stehen s weit
- sind wir bisher gekommen jetzt ist das letzte was wir noch zeigen müssen dass dieser Teil nichts anderes ist als dieser Teil hier und da gebe ich euch
- den Tipp versucht jetzt nicht von hier loszulaufen und das Ganze zu faktorisieren dass man in diese Form kommt sondern lauft einfach von hinten
- los startet von hier und schaut ob das dasselbe ist wie das hier also wenn wir die Klammern hier mal ausmultiplizieren nur für euch auf einem Schmierzettel ne
- also n* 2n sind 2n ho 2 n* 3 sind 3n 2* 2n sind 4n und 2* 3 sind 6 das heißt wenn wir 3n und 4n zusammenrechnen
- landen wir bei 7n und das ist doch genau das was hier steht dann schreibt das einfach hin also ihr müsst jetzt nicht mehr zeigen wie man von hier auf diese
- faktorisierte Form kommt sondern wir schreiben das einfach hin dass das da tatsächlich genau dasselbe ist wie das wo wir hin wollen es ist ja dasselbe wir
- sind ja rückwärts gerade vorgegangen und haben es gezeigt und dann seid ihr fertig also versucht nicht hier jetzt irgendwie irgendeine besondere Kunst
- hinzubekommen sondern guckt einfach ob es dasselbe ist wenn ihr von hinten loslauft und schreibt es dann genauso hin dann könnt ihr euer Kästchen drunter
- machen oder euer QED drunter setzen und dann haben wir den induktionsschritt gezeigt nämlich genau das sollten wir zeigen haben wir gezeigt und damit haben
- wir auch die komplette Aufgabe gezeigt dann hoffe ich dass es euch geholfen hat falls ihr Fragen habt schreibt sie gerne in die Kommentare ansonsten habt noch
- ein wunderschönen Tag und wir sehen uns beim nächsten Video macht's gut