Beweis durch vollständige Induktion, Prinzip der vollst. Induk., mit Beispiel | Mathe by Daniel Jung
Mathe by Daniel Jung
https://www.youtube.com/watch?v=MD7U_vYaX58

Transkript (automatisch erstellt)

0:02 so ich habe einmal probiert die vollständige Induktion auf ein Tafelbild zu bekommen es geht wirklich rein um den Ablauf der auch bei den
0:10 schwierigen induktionsbeweisen immer der gleiche ist das Beispiel was ich gewählt habe kennt ihr sicherlich aus der Schule oder lernt es in der Schule kennen im
0:20 Vorkurs Mathematik hält sich der Beweis auch noch von Schwierigkeitsgrat eigentlich in Grenzen und wenn es wirklich in die Tiefe geht dann müsste
0:27 man sich noch mal ein paar zur Übung anschauen jetzt erst mal noch mal rein zum Ablauf ihr braucht einen Induktionsanfang sehen wir gleich was es
0:35 genau bedeutet dann induktionsschritt besteht einmal zweitens aus der Induktionsvoraussetzung der
0:43 induktionsbehauptung und dann der Beweis dass die Behauptung aus der Voraussetzung folgt in Klassiker ist natürlich habe ja auch ein Video drüber
0:51 gemacht wie Gaus mal rausgefunden hat die ersten nnatürlichen Zahlen auf eine schnelle Art und Weise zusammenzuzählen also 1 + 2 + + 3 + 4 + 5 etc + n ist in
1:03 der Formel n + 1 x n dur 2 lasst euch nicht stören von dem Zeichen das ist das Zeichen Summe und heißt nichts anderes so wie es hier jetzt steht Summe aus i
1:16 der ersten Zahl bis n wie viel zahlen auch immer zusammen Ich zusammenzählen soll für n natürliche Zahlen soll in der Kurzform n + 1* n dur 2 sein das gilt
1:30 nun zu beweisen wir machen erstens den Induktionsanfang stellt euch vor ihr setzt für N1 ein dann habt ihr nur die 1 auf der linken Seite ihr habt ja nur
1:40 eine Zahl von den natürlichen Zahlen setzt dann in die schnelle Formel ein kommt auf dasselbe Ergebnis nämlich wieder 1 es stimmt also würdet ihr die
1:49 zwei nehmen dann hättet ihr die ersten beiden Zahlen zusammen zu zählen also 1 + 2 3 oder schnelle Methode auf der anderen Seite 2 eingesetzt für n ergibt
2:00 auch drei stimmt noch ein Beispiel wenn ihr für N3 einsetzen würdet hätten wir die ersten drei natürlichen Zahlen 1 + 2 + 3
2:08 6 schnell in die Formel eingesetzt 3 + 1* 3 dur 2 ergibt auch 6 was ihr davon macht ist egal einmal reicht ihr müsst ja nur zeigen für irgendeine Zahl stimmt
2:22 das was da steht nun ist es aber jetzt nicht allein ich damit getan denn wisst ihr ob es für N = 4 5 6 7 8 etc auch gilt deshalb jetzt die
2:32 induktionsschritte die Voraussetzung die Voraussetzung es gilt also für n = K oftmals taucht der Buchstabe K auf für irgendeine Zahl also
2:43 schreiben wir im Prinzip nur das was wir oben schon stehen haben 1 + 2 + 3 + Pünktchen Pünktchen + K ist gleich eben die Formel K + 1* K dur
2:55 2 die Behauptung ist jetzt es gilt auch für n= K + 1 also allgemein für jeden weiteren Schritt was schreiben wir einfach auf 1 + 2 + 3 + Pünktchen
3:07 Pünktchen + K + auch noch K + 1 jeder weitere Schritt und setzen in der Formel auf der Seite wo wir schnell die Formel haben und rechnen wollen für k k + 1 ein
3:21 für k k + 1 + 1 bleibt noch hier für K auch K + 1 hier zusammengefasst gibt also als Behauptung K + 2* K + 1 dur 2 für alle n K + 1 also jeden weiteren
3:40 Schritt nun für viele die schwierigste Hürde dass die Behauptung aus der Voraussetzung folgt macht einfach folgendes schnappt euch die
3:50 Voraussetzung auf beiden Seiten und ergänzt jeweils am Ende mit K + 1 links müsst ihr nichts mehr tun aber rechts sollte wenn alles gut
4:04 läuft die Behauptung rauskommen was muss ich jetzt hier machen hier kommt jetzt alles aus den vergangenen Jahren zusammen
4:12 z.B ausmultiplizieren hier oben k* K ist k² + 1 x K ist K halbe warum mache ich das sehen wir gleich Plus+ K + 1 was habe
4:25 ich jetzt gemacht hier steht halbe also bringe ich das hier auch auf halbe oben mal 2 hätten wir 2 x K + 1 dur 2 was bringt mir das ich kann jetzt
4:38 alles zusammenfassen k²r hier bin ich k² + K + 2 K + 2 und halbe denn Brüche die gleichnamig sind
4:55 kann ich ja zusammenfassen 1 K und 2K sind 3k bleibt oben übrig k² + 3k + 2 bin ich noch nicht genau da was die Behauptung gesagt hat aber was kann ich
5:08 jetzt hier oben machen um eventuell auf diese Schreibweise zu kommen ist ja nichts anderes jetzt als die Schreibweise das hier in den
5:18 Linearfaktoren also was mache ich ganz einfach der Ausdruck der oben ist null setzen und entweder mit pq Formel quadratische Ergänzung oder Satz von
5:27 vieta lösen folgt - 1 und k- 2 und das könnte ich umschreiben eben in den Linearfaktoren K + 1 mal K + 2 durch 2 diese Schritte hier sind jetzt natürlich
5:40 alles Sachen arithmetische Grundlagen rechnerische Grundlagen aus den letzten Jahren die einzeln noch mal nachschauen müsstet denn jetzt bin ich genau auf die
5:49 Behauptung bekommen und meine vollständige Induktion ist zu Ende ich habe bewiesen dass diese Formel
5:58 stimmt