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UNI Mathe – Vollständige Induktion einfach erklärt
Das Wichtigste aus dem Video
Tipp auf eine Zeit – das Video springt genau dorthin.
Transkriptautomatisch erstellt · 62 Zeilen
- hallo ihr Lieben heute möchte ich zusammen mit euch folgendes beweisen zeige mit vollständiger Induktion das für alle natürlichen Zahlen mit n größer
- gleich 1 folgendes gilt drei hoch n-3 ist durch 6 teilbar wir sollen also zeigen egal welche natürliche Zahl wir für dieses kleine n hier einsetzen wenn
- wir das machen diesen Ausdruck berechnen dann ist das Ergebnis immer durch sechs teilbar und das soll nicht nur für n = 1 oder n = 2 oder n = 3 gelten sondern für
- alle natürlichen Zahlen und um das zu beweisen gibt es Gott sei Dank das Prinzip der vollständigen Induktion dass uns das ganze auf drei Schritte
- runterbricht wenn du die drei Schritte durchgeführt haben dann haben wir das ganze bewiesen erster Schritt der Induktionsanfang wird auch mit ia
- abgekürzt der ist eigentlich immer ganz nett denn da schaut man sich den Anfang an also das kleinste n für das das ganze hier gelten soll testet man einfach gilt
- das denn für n = 1 in unserem Fall also es ist kleinste n und jetzt schauen wir mal ob diese Aussage dafür dann gilt das heißt für jedes n was wir hier haben
- setzen wir eins ein also drei hoch eins haben wir in unserem Fall minus 3 einfach so abschreiben mal ausrechnen 3 hoch 1 1 3 - 3 sind 0 und jetzt die
- Frage ist 0 durch 6 teilbar also können wir 0 durch 6 ohne Rest teilen ja das Ergebnis ist noch mal 0 von daher stimmt diese Aussage der Induktionsanfang ist
- getan und wir haben den ersten Schritt schon erledigt dann Nummer zwei die Induktionsvoraussetzung auch die ist nicht schlimm IV abgekürzt da müssen wir
- einfach jetzt nur hinschreiben wir haben ja gerade ein N gefunden für das diese Aussage gilt und genau das ist die Induktionsvoraussetzung also es
- existiert ein N aus den natürlichen Zahlen so dass und jetzt können gewissen mathematische aufschreiben die 6 ein Teiler ist also 6 teilt diesen Ausdruck
- hier das ist die mathematische Schreibweise für diesen Satz und das ist auch alles was ihr bei der Induktionsvoraussetzung hinschreiben
- müsst also wir haben einen in gefunden so dass diese Aussage gilt und damit können wir Schritt 2 auch schon abhaken und dann kommen wir zum Herzstück der
- vollständigen Induktion dem induktionsschritt da passiert jetzt die meiste Arbeit ich meine klar Schritt 1 Schritt 2 waren verkraft war aber
- Schritt 3 der dauert ein bisschen länger der induktionsschritt da müssen wir uns jetzt wirklich Gedanken machen wir müssen jetzt von innen schließen auf den
- Nachfolger auf n plus 1 wir dürfen die induktionsvoraussetzungen jetzt verwenden die wir gerade eben aufgeschrieben haben dass diese Aussage
- eben für n gilt also das 6 ein Teiler ist von diesem Ausdruck dass das Ganze für enge gilt müssen jetzt aber noch zeigen dass es dann auch für
- +1 gilt also wir schreiben erstmal auf was jetzt noch zu zeigen ist damit wir das immer im Blick haben wenn wir das dann aber gezeigt haben dann sind wir
- fertig mit dem Beweis und haben die Aussage gezeigt so was ist zu zeigen naja das 6 dann auch ein Teiler ist von und für jedes n was ihr hier findet
- setzt ihr dann n plus 1 ein also 3 hoch da sind da sitzen wir ein plus eins ein und den Rest einfach wenn kein Ende da ist einfach abschreiben das ist jetzt
- noch das was wir zu zeigen haben das sechs eben auch ein Teiler von diesem Ausdruck ist aber wir dürfen immer benutzen das 6 ein Teil von diesem
- Ausdruck ist sie sehen sich ähnlich sind aber nicht gleich ne hier steht ein plus eins okay dann schauen wir mal wie wir das hinkriegen das ganze habe ich noch
- mal hingeschrieben was wir zu zeigen haben und dann schnappen wir uns einfach mal diesen Ausdruck hier dieses 3 € N plus 1 - 3 und gucken über das Umformen
- können dass wir sagen können ja das ist auf jeden Fall durch sechs teilbar und immer mit dem Hinblick auf die Induktionsvoraussetzung die dürfen wir
- verwenden sobald wir auf das hier stoßen auf drei un-3 wissen wir sofort dass das dann durch 6 teilbar ist das zeigt uns auch immer so ein bisschen den Weg also
- wenn wir hier jetzt drei hoch N - 3 entdecken ich meine die -3 ist hier drin 3 hoch n auch aber das stört noch dieses kleine plus eins dann ist es so ein
- erster Hinweis darauf in welche Richtung man dann gehen sollte diese +1 z.B weg bekommen dass man drei auch n plus eins eben umschreibt da gibt es ja ein
- Potenzgesetz das uns hilft so eine Summe im Exponenten in zwei einzelnen Potenzen auseinander zu ziehen nämlich wenn wir x hoch A+B haben dann können wir daraus x
- hoch machen mal x hoch B und das wenden wir jetzt mal an das heißt die Basis bleibt 3 hoch der erste Teil also 3 hoch n mal 3 hoch 1 die -3 da hinten die
- können wir einfach so abschreiben 3 hoch 1 können wir einfach als 3 stehen lassen und dann ist es drei hoch n hier nämlich wirklich schön sichtbar es ist noch
- nicht bei der -3 irgendwie zusammen ich meine sowieso 3 hochnmal drei habe ich nicht so gern so rum da stehen ich drehe das gerne um das die drei vorne steht
- also drei mal drei hoch n einfach tauschen und dann die -3 hinten dran jetzt sieht es kurz so aus als würde hier drei Wochen -3 stehen von unserer
- Induktionsvoraussetzung aber da hat hier das mal doch noch ein bisschen was mit zu reden da sagt nämlich hey ich gehör zusammen mit dem da ähm und nicht die
- beiden hier deswegen müssen wir jetzt erstmal schauen wie wir hier ein bisschen was auflösen dass wir wirklich 3 Wochen einzeln da stehen haben drei
- mal drei hoch ist ja nichts anderes als wenn man das mal grün markieren dann heißt es ja wir haben 3 hoch n wird zusammengerechnet zu 3 hoch n wir
- zusammengerechnet zu 3 hoch n also dreimal dieses grüne 3 auch enden jetzt wollen wir aber eins davon zusammen ja mit der -3 hier stehen haben das heißt
- die anderen beiden die können eigentlich zusammen bleiben also es sind zwei von diesen drei hochents und hinzu kommt eben noch das was wir einzeln stehen
- haben wollen das heißt unsere drei hochenz können wir aufschreiben in zwei davon plus ein weiteres drei Wochen das sind jetzt alle drei zusammen und die -3
- noch hinten dran das da habe ich jetzt noch mal hier stehen und jetzt haben wir es mal ein Teil geschafft dass wir hier tatsächlich das stehen haben was wir aus
- unserer Induktionsvoraussetzung kennen das heißt wenn wir die jetzt anwenden können wir jetzt sofort sagen hey dieser Teil hier ist laut
- Induktionsvoraussetzung durch 6 teilbar das ist schon mal ein Teil von dieser Summe die wir hier stehen haben also bei der Summe ist es so wenn wir
- jetzt noch zeigen könnten dass auch der Teil hier vorne durch 6 teilbar ist also wenn das durch 6 teilbar ist plus etwas das durch 6 teilbar ist dann ist
- insgesamt auch die Summe durch sechs teilbar jetzt müssen wir nur noch zeigen dass hier vorne das dann auch tatsächlich durch sechs teilbar ist
- müssen wir mal gucken wie wir das machen können ich meine zweimal drei hoch n zwei mal drei wäre super das wäre sechs aber die können wir noch nicht so
- verrechnen weil hoch n diese Potenz ist natürlich stärker als diese Multiplikation hier aber aus diesen drei auch n können wir eine drei rausziehen
- wie können wir das machen drei auch n besteht ja aus dreien nämlich drei mal drei mal drei mal drei mal drei mal drei und das Ganze eben n mal ne wegen diesem
- Hoch n wenn wir jetzt eine 3 daraus ziehen wollen dass wir sagen okay ich will die abspalten die will ich draußen stehen
- haben die grüne drei hier und den Rest könnt ihr von mir aus noch mal in der Potenz schreiben wie viele dreien stehen denn dann da vorher waren es n eine drei
- haben wir rausgezogen einen sind noch n -13 hier hinten das heißt wir können das Schreiben als drei hoch in -1 wir haben aus dieser Potenz eine drei rausgezogen
- dann ändert sich der Exponent eben um 1 und das Schreiben mal um also die zwei stand da aus drei un schreiben wir diese Schreibweise hier damit die eine drei da
- übrig oder alleine steht hinten dran plus den grünen Teil da denn haben wir sowieso schon abgehakt also von dem wissen wir schon dass er durch 6 teilbar
- ist aber hier vorne haben wir jetzt zweimal drei stehen das ist sechs und dann sieht es eigentlich schon sehr gut aus die Frage ist nur ist das hier jetzt
- wirklich ohne Rest durch sechs teilbar und in der Mathematik ist die Teilbarkeit von natürlichen Zahlen folgendermaßen definiert eine natürliche
- Zahl m ist genau dann durch sechs teilbar wenn man sie schreiben kann als 6 mal eine andere natürliche Zahl also K soll eine natürliche Zahl sein ist die
- Frage haben wir das hier stehen ist dieser Teil hier also sechs Mal eine natürliche Zahl das ist wichtig ist dass hier eine natürliche Zahl wenn es der
- Fall ist dann sind wir fertig also wir können wir das begründen das ist so ist 3 hoch in also für das n werden ja natürlich jetzt zahlen eingesetzt unser
- kleinstes n war ja die eins also selbst wenn ihr eine Eins eingesetzt wurde hätten wir 1 - 1 das ist null drei hoch Null ist eine natürliche Zahl und alle
- größeren NS führen auch zu einer natürlichen Zahl von daher ist auch dieser Teil hier durch sechs teilbar der hier hatten wir ja sowieso insgesamt ist
- das Ding durch sechs teilbar wir können unser Kästchen hinmalen oder coole Idee hinschreiben und haben unseren Beweis geführt dann hoffe ich dass es euch
- geholfen hat falls ihr Fragen habt schreibt sie wie immer gerne in die Kommentare ansonsten euch noch einen wunderschönen Tag und wir sehen uns beim
- nächsten Video macht's gut
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