Sinus und Kosinus am Einheitskreis – einfach erklärt
MathemaTrick
https://www.youtube.com/watch?v=82WucXmm770

Transkript (automatisch erstellt)

0:00 Hallo ihr Lieben, heute möchte ich euch Schritt für Schritt zeigen, wie man mit dem Einheitskreis arbeiten kann und dann auch diese ganzen Werte hier am
0:08 Einheitskreis ganz einfach ablesen kann. Lass uns mal damit starten, was der Einheitskreis überhaupt ist und wie man ihn zeichnen kann. Der Einheitskreis ist
0:18 ein Kreis. Also, wenn wir mal ein Koordinatensystem hier hinzeichnen mit einer X-Achse und einer Y-Achse, dann zeichnen wir hier ins Zentrum einen
0:28 Kreis und zwar einmal hier schön drumherum. Ja, perfekt. Und dieser Kreis muss immer Radius 1 haben. Also vom Mittelpunkt zum Kreisrand landen wir
0:39 hier bei der 1. Genauso hier vom Mittelpunkt zum Kreisrand bei der 1. Hier haben wir auch Radius 1, aber hier sind wir im negativen Bereich. auf der
0:49 X-Achse. Also sind wir hier bei -1 und hier genauso vom Mittelpunkt zum Kreisrand hier runter ins Negative, da landen wir bei -1, also immer 1 1 -1 -1.
1:02 Und jetzt haben wir ja schon gesehen, dass wir die Werte von Sinus und Cosinus hier am Einheitskreis irgendwie ablesen können. Auf der X-Achse finden wir immer
1:10 die Werte vom Cosinus und auf der Y-Achse finden wir immer die Werte vom Sinus. Und es ist auch ganz wichtig, dass man das nicht vertauscht. Also
1:20 Cosinus auf der X-Achse, Sinus auf der y-Achse. Und dann startet man immer an dieser Stelle hier und läuft dann auf dieser Kreislinie entlang, je nachdem,
1:36 welcher Winkel in der Aufgabenstellung gegeben ist. Lass uns das mal direkt mit dem ersten Beispiel testen. Da können wir es nämlich mit Zahlen machen. Wir
1:43 wollen den Cosinus von 90° berechnen. Das ist unser Winkel, der uns interessiert und auch den Sinus von 90°. Also, es geht jetzt hier um den Winkel
1:52 90°. Wir haben unseren Einheitskreis schon gezeichnet. Den muss man natürlich dann immer wissen, wie er aussieht. Und wir
1:59 wissen, man startet immer an dieser Stelle und trägt jetzt diesen Winkel hier ab. Also 90° laufen wir von dieser Stelle aus nach oben los. Also 90°
2:11 Winkel wäre bis hier hin, damit wir hier dazwischen einen 90° Winkel abgetragen haben. Und da, wo wir rauskommen, diese Stelle interessiert uns. An dieser
2:25 Stelle können wir jetzt den Cosinuswert von 90° und den Sinuswert von 90° ablesen. Also dieser Punkt, den wir da oben markiert haben, den nenne ich mal
2:34 P. Und von dem brauchen wir einfach nur die beiden Koordinaten. Die x-Koordinate hilft uns den Cosinus zu finden und die Y-Koordinate hilft uns den Sinus zu
2:46 finden. Deswegen ist es ganz wichtig, dass ihr die beiden nicht vertauscht. Wie sieht's mit der X-Koordinate von diesem Punkt hier oben aus?
2:56 X-Koordinate heißt, wie viel sind wir nach rechts oder nach links gelaufen, um hier an dieser Stelle zu landen? Und dadurch, dass wir uns hier auf der
3:05 Y-Achse befinden, sind wir weder irgendwas nach rechts noch irgendwas nach links gelaufen. Wir haben uns von rechts nach links überhaupt nicht
3:13 bewegt. Deswegen ist meine X Koordinate in diesem Punkt 0. Wie sieht's mit meiner Yordinate in diesem Punkt aus? Das ist ja, wie viel bin ich nach oben
3:23 oder nach unten gelaufen, um hier zu landen? Na ja, vom Ursprung sind wir eins nach oben gelaufen, um hier anzukommen. Also ist meine y Koordinate
3:33 1. Einfach die Koordinaten von diesem Punkt ablesen in diesem Koordinatensystem. Und diese beiden Werte sind jetzt sofort
3:41 meine Werte für den Cosinus und den Sinus. Cosinus haben wir gesagt, ist der XWert, also mein X-Wert von meinem Punkt hier war 0. Also ist mein Cosinuswert 0
3:52 und mein Sinuswert ist auf der y-Achse. Also ist meine y Koordinate in diesem Punkt. Dieses 1, also kommt die 1 hier rein. Ist am Anfang ein bisschen
4:01 gewöhnungsbedürftig, aber wir starten einfach direkt weiter mit dem nächsten Beispiel, um uns da dran zu gewöhnen. Diesmal haben wir einen neuen Winkel 0°
4:10 hier. Sinus und Cosinus. Diese Werte wollen wir finden. Wir haben unseren Einheitskreis schon gezeichnet. Wir wissen, wir starten immer an dieser
4:18 Stelle. Und dann tragen wir den Winkel ab, der uns interessiert. Diesmal sind es 0°. Okay, 0° heißt, ich bewege mich gar
4:26 nicht. Also, ich gehe gar nicht nach oben. Ich bleibe einfach an dieser Stelle um diesen Winkel. 0° soll es gehen. Und das ist dann auch der Punkt,
4:36 an dem ich meine Koordinaten ablesen muss. Ich brauche die x Koordinate für meinen Cosinuswert und die y Koordinate für meinen Sinuswert.
4:48 Welche x-Koordinate habe ich hier in diesem Punkt? Also, wie viel bin ich nach rechts oder nach links gelaufen, um hier zu landen? Das ist 1 nach rechts
4:57 gelaufen, also ist 1 meine x-Koordinate und damit sofort mein Cosinuswert von meinem Winkel 0°. Also die 1 kann ich hier direkt eintragen. Und den
5:10 Sinuswert, um den zu finden, da muss ich jetzt wissen, wie ist d meine y Koordinate in diesem Punkt? Also, wie viel bin ich nach oben oder nach unten
5:17 gelaufen, um hier zu landen? Ich habe mich gar nicht nach oben oder nach unten bewegt. Also diesmal ist meine y Koordinate 0. Und das ist dann sofort
5:25 mein Sinuswert von diesem Winkel. Also die Null kann ich sofort hier eintragen. Lasst uns direkt mit unserem dritten Beispiel weitermachen.
5:35 180° ist diesmal der Winkel, der uns interessiert. Wir wissen, okay, das wissen wir jetzt sofort. Wir starten hier. 180° wollen wir eintragen. Das
5:45 heißt, 180° wissen wir, ist ein Halbkreis, also werden wir hier letztendlich landen. Das hier sind 180°.
5:55 Dieser Punkt interessiert mich also, um meinen Cosinus und Sinuswert herausfinden zu können. Welche Koordinaten habe ich hier in diesem
6:05 Punkt? meine X Koordinate zuerst. Also, wie viel muss ich nach links oder nach rechts laufen, um hier zu landen vom
6:14 Ursprung aus? Ich musste zur -1 gehen, um hier anzukommen. Also ist meine x-Koordinate -1 und die y-koordinate. Wie bin ich nach
6:25 oben oder nach unten gelaufen, um hier zu landen? Ich habe mich gar nicht bewegt. Ich bin ja immer noch auf der x-Achse unterwegs. Also ich bin nicht
6:31 nach oben oder auch nicht nach unten gelaufen. Also ist meine ykoordinate 0. Die X-Koordinate liefert mir meinen Cosinus, also Cosinus ist -1 in diesem
6:42 Fall. Und Sin y Koordinate, wie ich nach oben oder nach unten gelaufen bin. Das ist meine Null hier in dem Fall und das sind die beiden Werte. Das waren alle
6:53 Beispiele, aber ich wollte euch noch ein Spezialfall zeigen, falls eure Aufgabenstellung so aussehen sollte, dass ihr das hier schon gegeben habt in
7:02 der Aufgabenstellung. Also, es ist ein 30° Winkel eingezeichnet und ihr bekommt die Koordinaten von diesem Punkt gegeben,
7:11 weil hier in diesem Zwischenraum kann man die Koordinaten nicht gut ablesen. Da weiß man nicht, wo man sich befindet. Die Koordinaten sind immer nur einfach
7:21 von diesen Winkeln hier abzulesen, aber alles, was dazwischen liegt, sollte dann in der Aufgabenstellung gegeben sein. Ist es ja auch. Und wir sollen den
7:31 Cosinus von 30° und den Sinus von 30° berechnen. Na gut, 30° sind ja gegeben. Den Cosinus finde ich immer mit der X Koordinate. Also weiß ich Cosinus von
7:43 30° sind meine Wurzel von 3/BE und den Sinus von 30° finde ich dann mit der y Koordinate in diesem Punkt. Das ist die ein/b. Und dann kann ich das
7:56 ganz einfach so ablesen. Ich hoffe, es ist klar geworden, wie man mit dem Einheitskreis arbeiten kann. Natürlich kann man noch einiges mehr machen, aber
8:03 das waren schon mal die Grundlagen. Ähm, falls ihr Fragen habt, schreibt sie gerne in die Kommentare. Ansonsten habt noch einen wunderschönen Tag und wir
8:08 sehen uns beim nächsten Video. Macht's gut. M.