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Let's 'plain - Was sind Markov-Ketten? // Uni-Mathematik
Das Wichtigste aus dem Video
Tipp auf eine Zeit – das Video springt genau dorthin.
Transkriptautomatisch erstellt · 84 Zeilen
- herzlich willkommen zum heutigen mathe-video heute beschäftigen wir uns mit den sogenannten marktkauf-ketten bestellen uns die Frage wofür braucht
- man überhaupt die Marktkauf Ketten welche Fragen kann man sich in dem Kontext stellen und ja was kann man überhaupt damit anfangen ja in den
- nächsten Videos werde ich euch zeigen welche Aufgaben Typ man damit berechnen kann man kennt das Thema ja aus der Uni aber auch aus der Schule im Rahmen der
- sogenannten übergangsmatrizen und ja ich habe jetzt für euch einen einführendes Beispiel mitgebracht und zwar den Froschteich den seht ihr hier
- und in so einem Froschteich da lebt natürlich auch ein Frosch das ist unser Frosch Fritz und wir stellen uns hier schon die Frage mit welchen
- Wahrscheinlichkeiten Fritz am nächsten Tag ja von Seerosenblatt zu Seerosenblatt springt heute sitze z.B auf Seerosenblatt a und
- die Frage ist jetzt mit was für eine Wahrscheinlichkeit ist am nächsten Tag auf sie Rosenblatt B und das ist in dem Fall 25 %. das seht
- ihr an den Pfeilen das was ich übrigens hier sehen könnt nennt man auch übergangskraft ja und die Seerosenblätter den ich ja allen
- einen Namen gegeben habe in dem Fall a b c das sind die sogenannten Zustände die man hier bei einer Marktkauf Kette annehmen kann und so einen Zustandsraum
- nennt man auch es schaue ich mal hier oben links hin und dann macht man eine Menge Klammer und schreibt hinten a b c das sind alte
- Zustände die wir annehmen können bzw all die Seerosenblätter wo Fritzchen springen kann und ja
- [Musik] Fritz jetzt auf Blatt und wir fragen uns mit welcher Wahrscheinlichkeit sind am nächsten Tag auf Blatt B
- 25%, das hatte ich ja schon gesagt mit einer 75%igen Wahrscheinlichkeit sitzt er am nächsten Tag auf Platz 10 ja und das ist halt hier das Prinzip das ist
- wie gesagt ein Übergangs Graf oder auch prozessdiagramm sagt man auch manchmal und so so einem übergangsgrafen kann man auch eine Übergangsmatrix
- erstellen sage ich mal und das machen wir jetzt einfach mal gemeinsam das ist eine typische Aufgabe die man eine Uni und auch an der Schule
- zu erledigen hat und jetzt schauen wir uns einfach mal an wie das ganze funktioniert in der Spalte die ihr hier seht das sind
- die Zustände von wo Fritz kommt und hier sind die Zustände wo Fritz hin will so und wir gucken uns jetzt mal der Fall an das halt Fritz
- gerade auf Blatt a sitzt tut er auch gerade und er möchte am nächsten Tag auf a bleiben jetzt seht ihr natürlich das ist kein Pfeil gibt
- der auf a ja selbst zeigt den Fall gibt es hier nicht das heißt die Wahrscheinlichkeit ist gleich null
- das Schreiben jetzt einmal hin so dann gucken wir uns den Fall an von A nach B von A nach B wäre hier
- also haben wir hier eine Wahrscheinlichkeit von 25%, also schreiben wir hin 0,25
- nächster Fall A nach C A nach C wäre von hier nach da und das sind 75 Prozent schreiben wir
- auch hin also 0,75 ja so jetzt tun wir so als würde Fritz von B
- kommen das heißt wir positionieren jetzt Fritz auf die Rosenblatt B und er möchte von B nach A
- B nach A ist eine Wahrscheinlichkeit von 20%. ja und so geht das immer weiter ich mache das mal eben hier kurz fertig
- als nächstes haben wir von B nach B den Fall gibt es nicht das heißt wir schreiben wieder hin 0 dann wollen wir uns anschauen
- wie nach C B nach C wäre 0,8 und dann kommt der letzte Fall Fritz startet von Seerosen Platz C
- und er möchte von dort aus nach a also 0,5 von C nach B
- wäre auch 0,5 und von 10 nach C ist in diesem Fall nicht möglich das heißt
- Wahrscheinlichkeit ist gleich Null und vielleicht fällt Euch schon an dieser Stelle etwas auf und zwar dass die Zeilen hier
- jeweils eins ergeben das müsst ihr einfach mal im Hinterkopf behalten es handelt sich hierbei um eine sogenannte stochastische Matrix was ist eine
- stochastische Matrix die Einträge in dieser Matrix sind alle zwischen 0 und 1 ja 0 liegt zwischen 0 und 1 0,25 und so weiter die Zeilen ergeben 1 jeweils
- jetzt muss ich hier an dieser Stelle noch anmerken in der Schule vertauscht man das hier übrigens die Nachteile wird zur Spalte und die von
- Spalte wird zur Zeile ist es in der Schule genau andersrum tut aber nicht viel zur Sache also das da geht's dann nur darum wie man
- Vektoren und Matrizen miteinander multipliziert ob jetzt von links oder von rechts das macht dann keinen großen Unterschied also lasst euch dadurch
- jetzt nicht verwirren und genau und wir haben es mit einer sogenannten quadratischen Matrix zu tun das heißt die Zeilen und Spaltenanzahl
- die stimmen überein so genau das war diese drei Kriterien für eine stochastische Matrix das sollte man auch
- im Hinterkopf behalten oder damit das auch eine Matrix wird müssen wir hier natürlich auch die Klammern setzen
- und ja wir stellen uns immer noch die Frage was ist jetzt überhaupt eine Marktkauf Kette dafür schauen wir uns jetzt mal die nächste Seite an
- und zwar brauche ich hier für den Begriff stochastische Prozess was ist ein stochastischer Prozess sei es eine diskrete Menge und i eine indexmenge
- dann ist eine Folge von s-wertigen Zufalls Variablen ein diskreter Stock hast du schon Prozess mit dem Zustandsraum S und indexmenge I was
- ein Zustandsraum ist das haben wir schon geklärt im Fall unseres froschteichs waren das ja die verschiedenen Zustände
- bzw Seerosenblätter wohin Fritz springen kann ja wenn wir das noch voll der Allgemeinheit spricht man halt von sogenannten Zuständen oder auch den
- Zustandsraum also all die Zustände die man überhaupt annehmen kann jetzt müssen wir uns noch fragen was ist jetzt nun hier die indexmenge die
- indexmenge ist nichts anderes als eine Nummerierung und diese Nummerierung repräsentiert ja es kann alles Mögliche repräsentieren
- Zeiteinheiten also Tage Wochen Jahre aber auch Anzahl von Experimenten zum Beispiel also es könnte im konnte sachkontext ja alles mögliche bedeuten
- das muss man sich dann dann noch mal genauer anschauen und ja ich zeige euch jetzt mal ein anderes Beispiel für eine diskreten stochastischen Prozess und
- zwar wäre das der unabhängige identisch verteilte Münzwurf da wäre zum Beispiel die indexmenge
- Z plus also die positiven ganzen Zahlen und wenn man das dann noch allgemein
- hinschreiben möchte ist ja eine Folge von Zuständen das steht ja hier eine Folge von s-wertigen Zufallsvariablen
- und schreiben mir das so auf X gleichmäßig Klammer auf und dann geht das von 0 bis unendlich ja dann könnte das und
- die unsere Zustände wären das Schreiben jetzt auch noch hin in unserem Fall wenn wir jetzt sagen Kopf sei eins das kann man ja einfach
- mal so annehmen und null Salz Zahl 1 ist Kopf 0,2
- gut dann hätten wir vielleicht eine Folge die wie folgt aussieht wir werfen dreimal die Münze und haben dann einmal Kopf dann noch mal Kopf und dann zahl ja
- das wäre ein diskreter stochastischer Prozess und wenn man will kann man diese Abfolge auch nummerieren dafür
- schreibt man dann ja einfach nur Indizes an diese Zustände dran das machen wir jetzt auch mal kurz das heißt im ersten Wurf also ganz am
- Anfang deswegen könnte man jetzt auch nur den Schreiben hat wenn wir Kopf beim nächsten Wurf die eins und beim dritten Wurf damit sie die zwei
- hin Zahl ja das einfach nur eine Durchnummerierung das das versteht man unter einer indexmenge hier und jetzt
- kommen wir auch schon zum eigentlichen Begriff der Marktkauf Kette und zwar ist ein stochastischer Prozess den Begriff haben wir jetzt gerade geklärt heißt
- eine Marktkauf Kette genau dann wenn für alle ja das heißt für alle n Element aus der natürlichen Zahlen und für alle
- x0 bis XL Element aus dem Zustandsraum ist mit irgendeiner Wahrscheinlichkeit die echt
- größer Null ist die Marktkauf Eigenschaft gilt also an dieser Stelle möchte ich erstmal
- klären was dieser Part hier bedeutet ja das bedeutet nichts anderes hier das sind ja hier die zuständig x0 XL
- -2xl-1 und so weiter hier könnt ihr zum Beispiel stehen Fritz wenn wir uns jetzt nochmal das anfangsbeispiel angucken das Fritz auf
- Blatt gestartet ist dann war der am nächsten Tag auf Platz 10 dann wieder auf Blatt und dann wieder auf Blatt B könnte man jetzt
- einfach so annehmen hier steht ja auch extra n -1 und nicht n warum weil das hier nichts anderes ist als die Vergangenheit die wir hier betrachten
- die Wahrscheinlichkeit dafür dass es überhaupt irgendeine Vergangenheit existiert hat existiert hat heißt hier in dem Fall
- echt größer 0 diese Wahrscheinlichkeit existierte dass er vorher irgendwie war dieser Fritz auf irgendwelchen Seerosenblättern also es gab eine
- Vergangenheit und jetzt kommen wir zum Begriff der Marktkauf Eigenschaft der ist ziemlich
- wesentlich hier wenn wir uns mal diese Wahrscheinlichkeit hier angucken dann könnte man Xing = kleine xn als die Zukunft bezeichnen
- XL -1 also ein Zeitschrift davor als die Gegenwart und alles was davor war
- als die Vergangenheit so und das soll das gleiche sein ja wie die Wahrscheinlichkeit dafür
- die Zukunft unter der Bedingung das ist ein Zustand kurz vorher gab ein Zeitschrift vorher aber die restliche Vergangenheit diese interessiert uns
- plötzlich nicht mehr die kommt hier nicht mehr vor nach diesem Gleichheitszeichen die verschwindet einfach das bedeutet nichts anderes
- dass die Marktkauf Kette vergesslich ist die hätten sie hängt nur vom letzten Zeitschrift ab aber alles was davon noch passiert ist also ich sag mal dieser
- Zustand sei jetzt mal Zustand a vom Fritz Beispiel und das ist Zustand B das heißt unter der Bedingung das Fritz halt
- vorher im letzten Schritt auf B war die Wahrscheinlichkeit dafür ja aber ob jetzt Fritz bevor der jetzt hier bei B
- war vorher noch auf Zewa das interessiert uns nicht diese Vergangenheit interessiert die marktkauf-kette nicht das hat sich schon
- längst wieder vergessen es interessiert immer nur was ein Zeitschrift vorher passiert ist ja gut und das was hier steht ist nichts
- anderes das kann man auch so umschreiben das sind unsere über rückgangswahrscheinlichkeiten aus unserer Übergangsmatrix
- die Einträge daraus ne wie zum Beispiel 0,25 oder 0,5 und so weiter 0,8 etc so
- behaltet einfach im Hinterkopf eine Marktkauf Kette ist ein stochastischer Prozess es gab irgendeine Vergangenheit
- und es gilt die sogenannte Marktkauf Eigenschaften in anderen Worten eine Marktkauf Kette ist vergesslich und das ist es auch im Wesentlichen das sind
- sogenannte Marktkauf Ketten und was man damit noch so anstellen kann das schauen wir uns in den nächsten Videos an bis dahin euer Tobi
Zum Nachlesen
ÜbergangsmatrixEine Übergangsmatrix ist eine quadratische Matrix, deren Zeilen- oder Spaltensummen Eins betragen und deren Elemente zwischen Null und Eins liegen.
Stochastischer ProzessMartingale modellieren ein faires Spiel. Hat man zu einem Zeitpunkt bereits einen gewissen Betrag gewonnen, so ist der Erwartungswert für künftige Gewinne …
Bernoulli-ProzessEin Bernoulli-Prozess oder eine Bernoulli-Kette (benannt nach Jakob I Bernoulli) ist eine Folge von stochastisch unabhängigen Bernoulli-Experimenten.
Pfad (Stochastik)Deutet man die Indexmenge des Prozesses als Zeit und die Werte des Prozesses als räumliche Position, so "läuft" der Prozess mit zunehmender Zeit einen Pfad ab.