Let's 'plain - Was sind Markov-Ketten? // Uni-Mathematik
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https://www.youtube.com/watch?v=75OagOvmnEM

Transkript (automatisch erstellt)

0:00 herzlich willkommen zum heutigen mathe-video heute beschäftigen wir uns mit den sogenannten marktkauf-ketten bestellen uns die Frage wofür braucht
0:09 man überhaupt die Marktkauf Ketten welche Fragen kann man sich in dem Kontext stellen und ja was kann man überhaupt damit anfangen ja in den
0:18 nächsten Videos werde ich euch zeigen welche Aufgaben Typ man damit berechnen kann man kennt das Thema ja aus der Uni aber auch aus der Schule im Rahmen der
0:27 sogenannten übergangsmatrizen und ja ich habe jetzt für euch einen einführendes Beispiel mitgebracht und zwar den Froschteich den seht ihr hier
0:36 und in so einem Froschteich da lebt natürlich auch ein Frosch das ist unser Frosch Fritz und wir stellen uns hier schon die Frage mit welchen
0:45 Wahrscheinlichkeiten Fritz am nächsten Tag ja von Seerosenblatt zu Seerosenblatt springt heute sitze z.B auf Seerosenblatt a und
0:58 die Frage ist jetzt mit was für eine Wahrscheinlichkeit ist am nächsten Tag auf sie Rosenblatt B und das ist in dem Fall 25 %. das seht
1:08 ihr an den Pfeilen das was ich übrigens hier sehen könnt nennt man auch übergangskraft ja und die Seerosenblätter den ich ja allen
1:18 einen Namen gegeben habe in dem Fall a b c das sind die sogenannten Zustände die man hier bei einer Marktkauf Kette annehmen kann und so einen Zustandsraum
1:30 nennt man auch es schaue ich mal hier oben links hin und dann macht man eine Menge Klammer und schreibt hinten a b c das sind alte
1:40 Zustände die wir annehmen können bzw all die Seerosenblätter wo Fritzchen springen kann und ja
1:49 [Musik] Fritz jetzt auf Blatt und wir fragen uns mit welcher Wahrscheinlichkeit sind am nächsten Tag auf Blatt B
1:58 25%, das hatte ich ja schon gesagt mit einer 75%igen Wahrscheinlichkeit sitzt er am nächsten Tag auf Platz 10 ja und das ist halt hier das Prinzip das ist
2:10 wie gesagt ein Übergangs Graf oder auch prozessdiagramm sagt man auch manchmal und so so einem übergangsgrafen kann man auch eine Übergangsmatrix
2:21 erstellen sage ich mal und das machen wir jetzt einfach mal gemeinsam das ist eine typische Aufgabe die man eine Uni und auch an der Schule
2:33 zu erledigen hat und jetzt schauen wir uns einfach mal an wie das ganze funktioniert in der Spalte die ihr hier seht das sind
2:41 die Zustände von wo Fritz kommt und hier sind die Zustände wo Fritz hin will so und wir gucken uns jetzt mal der Fall an das halt Fritz
2:53 gerade auf Blatt a sitzt tut er auch gerade und er möchte am nächsten Tag auf a bleiben jetzt seht ihr natürlich das ist kein Pfeil gibt
3:04 der auf a ja selbst zeigt den Fall gibt es hier nicht das heißt die Wahrscheinlichkeit ist gleich null
3:17 das Schreiben jetzt einmal hin so dann gucken wir uns den Fall an von A nach B von A nach B wäre hier
3:31 also haben wir hier eine Wahrscheinlichkeit von 25%, also schreiben wir hin 0,25
3:40 nächster Fall A nach C A nach C wäre von hier nach da und das sind 75 Prozent schreiben wir
3:54 auch hin also 0,75 ja so jetzt tun wir so als würde Fritz von B
4:05 kommen das heißt wir positionieren jetzt Fritz auf die Rosenblatt B und er möchte von B nach A
4:15 B nach A ist eine Wahrscheinlichkeit von 20%. ja und so geht das immer weiter ich mache das mal eben hier kurz fertig
4:25 als nächstes haben wir von B nach B den Fall gibt es nicht das heißt wir schreiben wieder hin 0 dann wollen wir uns anschauen
4:34 wie nach C B nach C wäre 0,8 und dann kommt der letzte Fall Fritz startet von Seerosen Platz C
4:50 und er möchte von dort aus nach a also 0,5 von C nach B
5:01 wäre auch 0,5 und von 10 nach C ist in diesem Fall nicht möglich das heißt
5:10 Wahrscheinlichkeit ist gleich Null und vielleicht fällt Euch schon an dieser Stelle etwas auf und zwar dass die Zeilen hier
5:19 jeweils eins ergeben das müsst ihr einfach mal im Hinterkopf behalten es handelt sich hierbei um eine sogenannte stochastische Matrix was ist eine
5:27 stochastische Matrix die Einträge in dieser Matrix sind alle zwischen 0 und 1 ja 0 liegt zwischen 0 und 1 0,25 und so weiter die Zeilen ergeben 1 jeweils
5:41 jetzt muss ich hier an dieser Stelle noch anmerken in der Schule vertauscht man das hier übrigens die Nachteile wird zur Spalte und die von
5:50 Spalte wird zur Zeile ist es in der Schule genau andersrum tut aber nicht viel zur Sache also das da geht's dann nur darum wie man
5:58 Vektoren und Matrizen miteinander multipliziert ob jetzt von links oder von rechts das macht dann keinen großen Unterschied also lasst euch dadurch
6:06 jetzt nicht verwirren und genau und wir haben es mit einer sogenannten quadratischen Matrix zu tun das heißt die Zeilen und Spaltenanzahl
6:16 die stimmen überein so genau das war diese drei Kriterien für eine stochastische Matrix das sollte man auch
6:25 im Hinterkopf behalten oder damit das auch eine Matrix wird müssen wir hier natürlich auch die Klammern setzen
6:32 und ja wir stellen uns immer noch die Frage was ist jetzt überhaupt eine Marktkauf Kette dafür schauen wir uns jetzt mal die nächste Seite an
6:39 und zwar brauche ich hier für den Begriff stochastische Prozess was ist ein stochastischer Prozess sei es eine diskrete Menge und i eine indexmenge
6:50 dann ist eine Folge von s-wertigen Zufalls Variablen ein diskreter Stock hast du schon Prozess mit dem Zustandsraum S und indexmenge I was
7:03 ein Zustandsraum ist das haben wir schon geklärt im Fall unseres froschteichs waren das ja die verschiedenen Zustände
7:11 bzw Seerosenblätter wohin Fritz springen kann ja wenn wir das noch voll der Allgemeinheit spricht man halt von sogenannten Zuständen oder auch den
7:20 Zustandsraum also all die Zustände die man überhaupt annehmen kann jetzt müssen wir uns noch fragen was ist jetzt nun hier die indexmenge die
7:30 indexmenge ist nichts anderes als eine Nummerierung und diese Nummerierung repräsentiert ja es kann alles Mögliche repräsentieren
7:39 Zeiteinheiten also Tage Wochen Jahre aber auch Anzahl von Experimenten zum Beispiel also es könnte im konnte sachkontext ja alles mögliche bedeuten
7:51 das muss man sich dann dann noch mal genauer anschauen und ja ich zeige euch jetzt mal ein anderes Beispiel für eine diskreten stochastischen Prozess und
8:00 zwar wäre das der unabhängige identisch verteilte Münzwurf da wäre zum Beispiel die indexmenge
8:11 Z plus also die positiven ganzen Zahlen und wenn man das dann noch allgemein
8:21 hinschreiben möchte ist ja eine Folge von Zuständen das steht ja hier eine Folge von s-wertigen Zufallsvariablen
8:31 und schreiben mir das so auf X gleichmäßig Klammer auf und dann geht das von 0 bis unendlich ja dann könnte das und
8:45 die unsere Zustände wären das Schreiben jetzt auch noch hin in unserem Fall wenn wir jetzt sagen Kopf sei eins das kann man ja einfach
8:53 mal so annehmen und null Salz Zahl 1 ist Kopf 0,2
9:04 gut dann hätten wir vielleicht eine Folge die wie folgt aussieht wir werfen dreimal die Münze und haben dann einmal Kopf dann noch mal Kopf und dann zahl ja
9:14 das wäre ein diskreter stochastischer Prozess und wenn man will kann man diese Abfolge auch nummerieren dafür
9:24 schreibt man dann ja einfach nur Indizes an diese Zustände dran das machen wir jetzt auch mal kurz das heißt im ersten Wurf also ganz am
9:35 Anfang deswegen könnte man jetzt auch nur den Schreiben hat wenn wir Kopf beim nächsten Wurf die eins und beim dritten Wurf damit sie die zwei
9:46 hin Zahl ja das einfach nur eine Durchnummerierung das das versteht man unter einer indexmenge hier und jetzt
9:55 kommen wir auch schon zum eigentlichen Begriff der Marktkauf Kette und zwar ist ein stochastischer Prozess den Begriff haben wir jetzt gerade geklärt heißt
10:05 eine Marktkauf Kette genau dann wenn für alle ja das heißt für alle n Element aus der natürlichen Zahlen und für alle
10:16 x0 bis XL Element aus dem Zustandsraum ist mit irgendeiner Wahrscheinlichkeit die echt
10:26 größer Null ist die Marktkauf Eigenschaft gilt also an dieser Stelle möchte ich erstmal
10:33 klären was dieser Part hier bedeutet ja das bedeutet nichts anderes hier das sind ja hier die zuständig x0 XL
10:43 -2xl-1 und so weiter hier könnt ihr zum Beispiel stehen Fritz wenn wir uns jetzt nochmal das anfangsbeispiel angucken das Fritz auf
10:52 Blatt gestartet ist dann war der am nächsten Tag auf Platz 10 dann wieder auf Blatt und dann wieder auf Blatt B könnte man jetzt
11:03 einfach so annehmen hier steht ja auch extra n -1 und nicht n warum weil das hier nichts anderes ist als die Vergangenheit die wir hier betrachten
11:12 die Wahrscheinlichkeit dafür dass es überhaupt irgendeine Vergangenheit existiert hat existiert hat heißt hier in dem Fall
11:21 echt größer 0 diese Wahrscheinlichkeit existierte dass er vorher irgendwie war dieser Fritz auf irgendwelchen Seerosenblättern also es gab eine
11:30 Vergangenheit und jetzt kommen wir zum Begriff der Marktkauf Eigenschaft der ist ziemlich
11:37 wesentlich hier wenn wir uns mal diese Wahrscheinlichkeit hier angucken dann könnte man Xing = kleine xn als die Zukunft bezeichnen
11:53 XL -1 also ein Zeitschrift davor als die Gegenwart und alles was davor war
12:09 als die Vergangenheit so und das soll das gleiche sein ja wie die Wahrscheinlichkeit dafür
12:25 die Zukunft unter der Bedingung das ist ein Zustand kurz vorher gab ein Zeitschrift vorher aber die restliche Vergangenheit diese interessiert uns
12:37 plötzlich nicht mehr die kommt hier nicht mehr vor nach diesem Gleichheitszeichen die verschwindet einfach das bedeutet nichts anderes
12:46 dass die Marktkauf Kette vergesslich ist die hätten sie hängt nur vom letzten Zeitschrift ab aber alles was davon noch passiert ist also ich sag mal dieser
12:56 Zustand sei jetzt mal Zustand a vom Fritz Beispiel und das ist Zustand B das heißt unter der Bedingung das Fritz halt
13:07 vorher im letzten Schritt auf B war die Wahrscheinlichkeit dafür ja aber ob jetzt Fritz bevor der jetzt hier bei B
13:17 war vorher noch auf Zewa das interessiert uns nicht diese Vergangenheit interessiert die marktkauf-kette nicht das hat sich schon
13:24 längst wieder vergessen es interessiert immer nur was ein Zeitschrift vorher passiert ist ja gut und das was hier steht ist nichts
13:35 anderes das kann man auch so umschreiben das sind unsere über rückgangswahrscheinlichkeiten aus unserer Übergangsmatrix
13:43 die Einträge daraus ne wie zum Beispiel 0,25 oder 0,5 und so weiter 0,8 etc so
13:56 behaltet einfach im Hinterkopf eine Marktkauf Kette ist ein stochastischer Prozess es gab irgendeine Vergangenheit
14:06 und es gilt die sogenannte Marktkauf Eigenschaften in anderen Worten eine Marktkauf Kette ist vergesslich und das ist es auch im Wesentlichen das sind
14:14 sogenannte Marktkauf Ketten und was man damit noch so anstellen kann das schauen wir uns in den nächsten Videos an bis dahin euer Tobi