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Die Integralfunktion
Das Wichtigste aus dem Video
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Transkriptautomatisch erstellt · 54 Zeilen
- In diesem Video lernst du, was die Integralfunktion ist und wie sie genau definiert ist. Diese ist grundlegend für den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung
- und wird somit in der Integralrechnung immer wieder gebraucht. Wir wissen bereits:
- Wenn wir uns zum Beispiel die Funktion f von t gleich 2 t auf dem Intervall von 0 bis 8 anschauen, dann gibt das Integral den orientierten Flächeninhalt in diesem Intervall an.
- Lass dich nicht davon irritieren, dass hier ein t steht, denn es ist ganz egal, welche Variable wir hier benutzen, es muss nicht immer ein x sein.
- Wir können das Integral auch über beliebige Teilintervalle betrachten. Z. B. gibt das Integral von 1 bis 5 über f von t dt
- den orientierten Flächeninhalt zwischem dem Funktionsgraphen und der x-Achse im Intervall von 1 bis 5 an.
- Genauso können wir auch den Flächeninhalt von 1 bis 3 betrachten. Den können wir mithilfe des Integrals exakt bestimmen.
- Wir können auch nur den Flächeninhalt bis 1,7 betrachten, das sieht dann so aus. Wir können als obere Grenze jeden beliebigen Wert aus dem Intervall nehmen,
- auf dem die Funktion definiert ist. Diesen Wert nennen wir mal x.
- Dann ist der orientiere Flächeninhalt im Intervall von 1 bis x durch das Integral von 1 bis x über f von t dt gegeben.
- Wir können jetzt das x variieren und dabei ändert sich auch der orientierte Flächeninhalt, also das Integral, in Abhängigkeit von x,
- das nennen wir mal I von x. Wenn wir den Wert des orientierten Flächeninhalts für jedes x hier abtragen,
- dann sehen wir, dass für jedes x ein anderer Wert für I von x herauskommt. Weil wir für jede beliebige obere Intervallgrenze x aus dem Intervall von 0 bis 8
- einen eindeutigen orientierten Flächeninhalt I von x bestimmen können, können wir das auch als Funktion auffassen.
- Diese Funktion nennen wir Integralfunktion. In diesem Beispiel ist das, wie man vielleicht erkennen kann, eine quadratische Funktion.
- Das geht aber nicht nur für dieses konkrete Beispiel, sondern hier kann jede beliebige stetige Funktion stehen.
- Auch die untere Grenze kann dann variieren. Auch hier ändert sich der Wert des orientieren Flächeninhalts in Abhängigkeit von x,
- wodurch eine Funktion entsteht. Formal sieht das Ganze dann so aus.
- Wir betrachten eine stetige Funktion f von D nach R, wobei D ein offenes Intervall sein soll. Dann brauchen wir noch eine Zahl a aus dem Intervall D.
- Bezeichnen wir die obere Grenze des Integrals mit der Variablen x, die auch in D enthalten ist, so kann man das Integral als Funktion von x auffassen.
- Diese Funktion wird die Integralfunktion genannt. Diese Funktion sieht dann so aus:
- I_a geht auch von D nach R und I_a von x ist definiert als das Integral von a bis x über f von t dt.
- Wir schreiben hier f von t dt und nicht f von x dx, wie du es vielleicht gewohnt bist, weil die Variable x ja schon vergeben ist für die obere Grenze
- und wir die gleiche Variable nicht für zwei unterschiedliche Sachen benutzen dürfen. Damit klar ist, dass a die feste untere Integralgrenze ist,
- schreiben wir das a hier in den Index. Für das x dürfen wir jede Zahl aus D einsetzen.
- Damit hat die Integralfunktion den gleichen Definitionsbereich wie unsere Ausgangsfunktion,
- wir können in I_a also alle Zahlen einsetzen, die wir auch in f einsetzen dürfen. Aber warum ist denn I_a wirklich eine Funktion?
- Dafür müssen wir prüfen, dass für jeden Wert von x eine eindeutige reelle Zahl herauskommt. An unserem Beispiel haben wir schon gesehen,
- dass bei Änderung von x immer ein anderer Wert herauskommt. Aber ist das denn auch allgemein so?
- Dafür machen wir eine Fallunterscheidung: Ist x größer als a, dann erhalten wir genau den Wert dieses Integrals und der ist ja immer eindeutig.
- Ist x kleiner als a, dann wirkt das erstmal komisch. Aber wir haben im letzten Kapitel des studiVEMINT-Kurses definiert,
- dass man dann die Integrationsgrenzen tauscht und ein Minus davor setzt. Dies ist aber auch ein eindeutig definiertes Integral,
- also kriegen wir auch hier eindeutige Werte heraus. Fehlt nur noch der Fall, dass x gleich a ist.
- Aber auch da haben wir eine Definition. Wenn die Integrationsgrenzen gleich sind, erhalten wir einfach 0
- und das ist ja schließlich auch eine eindeutige reelle Zahl. Damit haben wir sichergestellt, dass wirklich jedes beliebige x aus D eingesetzt werden darf
- und auch immer ein eindeutiger reeller Funktionswert herauskommt. Es handelt sich also tatsächlich um eine Funktion.
- Schauen wir uns das mal an einem Beispiel an. Hier haben wir die Funktion f von x gleich 4 mal x hoch 2 plus 1 im Intervall von minus 1 bis 5.
- Wenn wir jetzt das Integral mit fester unterer Grenze 0 und variabler oberer Grenze berechnen wollen,
- können wir das über die Integralfunktion I_0 machen. Die hat die gleichen Definitions- und Wertebereiche wie f,
- bildet also vom Intervall von minus 1 bis 5 in in die reellen Zahlen ab. Achte hierbei darauf, dass die untere Grenze des Integrals, also der Index von I,
- nicht unbedingt gleich der unteren Intervallgrenze sein muss. Wenn wir jetzt unsere Funktion einsetzen,
- haben wir I_0 von x gleich Integral von 0 bis x über 4 t hoch 2 plus 1 dt. Hier müssen wir aufpassen, dass wir für die Funktion nicht nochmal x verwenden,
- sondern eine andere Variable, wie z.B. t. Mit den Rechenregeln für Integrale können wir die Summe auseinanderziehen
- und die 4 vor das Integral schreiben. In den letzten Kapiteln des studiVEMINT-Kurses haben wir bereits das Integral
- einer quadratischen Funktion mit unterer Grenze 0 berechnet, das ist x hoch 3 durch 3.
- Für den zweiten Teil haben wir ein Rechteck der Breite x und der Höhe 1, also steht hier x. Die Integralfunktion an der Stelle x ist also gleich 4 Drittel x hoch 3 plus x.
- Damit können wir jetzt das Integral über die Funktion f mit fester unterer Grenze 0 und beliebiger oberer Grenze x berechnen.
- Wir können z. B. 1 einsetzen und erhalten direkt den Wert des Integrals über dem Intervall von 0 bis 1. Das Integral mit fester unterer Grenze und beliebiger oberer Grenze
- können wir mithilfe dieser Definition als Funktion, nämlich die Integralfunktion, deuten,
- die den Wert des Integrals in Abhängigkeit der oberen Grenze angibt. In diesem Video hast du gelernt, was die Integralfunktion ist
- und warum das eine Funktion ist. Diese Definition wird im gesamten Kapitel wichtig sein
- und dir immer wieder über den Weg laufen. Insbesondere im Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung
- findet diese Definition Anwendung. Was dieser aussagt und warum er so wichtig ist,
- erfährst du im aktuellen Kapitel und in den nächsten Videos des studiVEMINT-Kurses.
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