Die Integralfunktion
studiVEMINT
https://www.youtube.com/watch?v=4VQJq4_J7MI

Transkript (automatisch erstellt)

0:04 In diesem Video lernst du, was die Integralfunktion ist und wie sie genau definiert ist. Diese ist grundlegend für den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung
0:13 und wird somit in der Integralrechnung immer wieder gebraucht. Wir wissen bereits:
0:18 Wenn wir uns zum Beispiel die Funktion f von t gleich 2 t auf dem Intervall von 0 bis 8 anschauen, dann gibt das Integral den orientierten Flächeninhalt in diesem Intervall an.
0:29 Lass dich nicht davon irritieren, dass hier ein t steht, denn es ist ganz egal, welche Variable wir hier benutzen, es muss nicht immer ein x sein.
0:36 Wir können das Integral auch über beliebige Teilintervalle betrachten. Z. B. gibt das Integral von 1 bis 5 über f von t dt
0:44 den orientierten Flächeninhalt zwischem dem Funktionsgraphen und der x-Achse im Intervall von 1 bis 5 an.
0:51 Genauso können wir auch den Flächeninhalt von 1 bis 3 betrachten. Den können wir mithilfe des Integrals exakt bestimmen.
0:59 Wir können auch nur den Flächeninhalt bis 1,7 betrachten, das sieht dann so aus. Wir können als obere Grenze jeden beliebigen Wert aus dem Intervall nehmen,
1:08 auf dem die Funktion definiert ist. Diesen Wert nennen wir mal x.
1:12 Dann ist der orientiere Flächeninhalt im Intervall von 1 bis x durch das Integral von 1 bis x über f von t dt gegeben.
1:21 Wir können jetzt das x variieren und dabei ändert sich auch der orientierte Flächeninhalt, also das Integral, in Abhängigkeit von x,
1:28 das nennen wir mal I von x. Wenn wir den Wert des orientierten Flächeninhalts für jedes x hier abtragen,
1:36 dann sehen wir, dass für jedes x ein anderer Wert für I von x herauskommt. Weil wir für jede beliebige obere Intervallgrenze x aus dem Intervall von 0 bis 8
1:47 einen eindeutigen orientierten Flächeninhalt I von x bestimmen können, können wir das auch als Funktion auffassen.
1:55 Diese Funktion nennen wir Integralfunktion. In diesem Beispiel ist das, wie man vielleicht erkennen kann, eine quadratische Funktion.
2:03 Das geht aber nicht nur für dieses konkrete Beispiel, sondern hier kann jede beliebige stetige Funktion stehen.
2:10 Auch die untere Grenze kann dann variieren. Auch hier ändert sich der Wert des orientieren Flächeninhalts in Abhängigkeit von x,
2:17 wodurch eine Funktion entsteht. Formal sieht das Ganze dann so aus.
2:22 Wir betrachten eine stetige Funktion f von D nach R, wobei D ein offenes Intervall sein soll. Dann brauchen wir noch eine Zahl a aus dem Intervall D.
2:31 Bezeichnen wir die obere Grenze des Integrals mit der Variablen x, die auch in D enthalten ist, so kann man das Integral als Funktion von x auffassen.
2:41 Diese Funktion wird die Integralfunktion genannt. Diese Funktion sieht dann so aus:
2:46 I_a geht auch von D nach R und I_a von x ist definiert als das Integral von a bis x über f von t dt.
2:55 Wir schreiben hier f von t dt und nicht f von x dx, wie du es vielleicht gewohnt bist, weil die Variable x ja schon vergeben ist für die obere Grenze
3:04 und wir die gleiche Variable nicht für zwei unterschiedliche Sachen benutzen dürfen. Damit klar ist, dass a die feste untere Integralgrenze ist,
3:13 schreiben wir das a hier in den Index. Für das x dürfen wir jede Zahl aus D einsetzen.
3:18 Damit hat die Integralfunktion den gleichen Definitionsbereich wie unsere Ausgangsfunktion,
3:23 wir können in I_a also alle Zahlen einsetzen, die wir auch in f einsetzen dürfen. Aber warum ist denn I_a wirklich eine Funktion?
3:32 Dafür müssen wir prüfen, dass für jeden Wert von x eine eindeutige reelle Zahl herauskommt. An unserem Beispiel haben wir schon gesehen,
3:39 dass bei Änderung von x immer ein anderer Wert herauskommt. Aber ist das denn auch allgemein so?
3:46 Dafür machen wir eine Fallunterscheidung: Ist x größer als a, dann erhalten wir genau den Wert dieses Integrals und der ist ja immer eindeutig.
3:55 Ist x kleiner als a, dann wirkt das erstmal komisch. Aber wir haben im letzten Kapitel des studiVEMINT-Kurses definiert,
4:02 dass man dann die Integrationsgrenzen tauscht und ein Minus davor setzt. Dies ist aber auch ein eindeutig definiertes Integral,
4:09 also kriegen wir auch hier eindeutige Werte heraus. Fehlt nur noch der Fall, dass x gleich a ist.
4:15 Aber auch da haben wir eine Definition. Wenn die Integrationsgrenzen gleich sind, erhalten wir einfach 0
4:21 und das ist ja schließlich auch eine eindeutige reelle Zahl. Damit haben wir sichergestellt, dass wirklich jedes beliebige x aus D eingesetzt werden darf
4:31 und auch immer ein eindeutiger reeller Funktionswert herauskommt. Es handelt sich also tatsächlich um eine Funktion.
4:38 Schauen wir uns das mal an einem Beispiel an. Hier haben wir die Funktion f von x gleich 4 mal x hoch 2 plus 1 im Intervall von minus 1 bis 5.
4:47 Wenn wir jetzt das Integral mit fester unterer Grenze 0 und variabler oberer Grenze berechnen wollen,
4:53 können wir das über die Integralfunktion I_0 machen. Die hat die gleichen Definitions- und Wertebereiche wie f,
5:00 bildet also vom Intervall von minus 1 bis 5 in in die reellen Zahlen ab. Achte hierbei darauf, dass die untere Grenze des Integrals, also der Index von I,
5:10 nicht unbedingt gleich der unteren Intervallgrenze sein muss. Wenn wir jetzt unsere Funktion einsetzen,
5:16 haben wir I_0 von x gleich Integral von 0 bis x über 4 t hoch 2 plus 1 dt. Hier müssen wir aufpassen, dass wir für die Funktion nicht nochmal x verwenden,
5:26 sondern eine andere Variable, wie z.B. t. Mit den Rechenregeln für Integrale können wir die Summe auseinanderziehen
5:33 und die 4 vor das Integral schreiben. In den letzten Kapiteln des studiVEMINT-Kurses haben wir bereits das Integral
5:40 einer quadratischen Funktion mit unterer Grenze 0 berechnet, das ist x hoch 3 durch 3.
5:46 Für den zweiten Teil haben wir ein Rechteck der Breite x und der Höhe 1, also steht hier x. Die Integralfunktion an der Stelle x ist also gleich 4 Drittel x hoch 3 plus x.
5:57 Damit können wir jetzt das Integral über die Funktion f mit fester unterer Grenze 0 und beliebiger oberer Grenze x berechnen.
6:05 Wir können z. B. 1 einsetzen und erhalten direkt den Wert des Integrals über dem Intervall von 0 bis 1. Das Integral mit fester unterer Grenze und beliebiger oberer Grenze
6:17 können wir mithilfe dieser Definition als Funktion, nämlich die Integralfunktion, deuten,
6:22 die den Wert des Integrals in Abhängigkeit der oberen Grenze angibt. In diesem Video hast du gelernt, was die Integralfunktion ist
6:31 und warum das eine Funktion ist. Diese Definition wird im gesamten Kapitel wichtig sein
6:36 und dir immer wieder über den Weg laufen. Insbesondere im Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung
6:42 findet diese Definition Anwendung. Was dieser aussagt und warum er so wichtig ist,
6:48 erfährst du im aktuellen Kapitel und in den nächsten Videos des studiVEMINT-Kurses.