Physik · Klasse 9–11 · aktualisiert
Kinetische Gastheorie: Druck und Temperatur erklären
Du erklärst Gasdruck aus Teilchenstößen, deutest Temperatur als Energiemittelwert und liest Geschwindigkeitsverteilungen.
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Kurz gesagt
Die kinetische Gastheorie erklärt Gasdruck durch viele Teilchenstöße an eine Wand. Im idealen Gas hängt die mittlere Energie der Bewegung von Ort zu Ort von der Kelvin-Temperatur ab. Einzelne Teilchen haben dennoch verschiedene Geschwindigkeiten.
Gasdruck entsteht im Modell durch sehr viele Stöße bewegter Teilchen gegen die Gefäßwand. Die kinetische Gastheorie verbindet diese unsichtbare Bewegung mit messbarem Druck, Volumen und Temperatur. So kannst du Gasgesetze auch auf Teilchenebene erklären.
Deine Lernziele
Hake ab, was du schon kannst. Löst du alle Aufgaben eines Abschnitts, hakt Mela das Ziel für dich ab.
4 Abschnitte
In einem geschlossenen Gefäß bewegen sich sehr viele Gasteilchen ungeordnet. Du kannst die Bahn eines einzelnen Teilchens nicht verfolgen. Im thermischen Gleichgewicht bleiben Druck und Temperatur dennoch im Mittel gleich. Dafür sorgen die vielen Teilchenstöße.
Trifft ein Teilchen auf eine Wand, prallt es zurück. Dabei überträgt es Impuls auf die Wand. Impuls beschreibt die Bewegung mithilfe von Masse und Geschwindigkeit. Viele solche Stöße erzeugen den messbaren Gasdruck. Erwärmst du das Gas in einem geschlossenen, starren Gefäß, treffen die Teilchen im Mittel heftiger auf die Wand und der Druck steigt.
Für ein ideales Gas fasst die Druckgleichung diesen Zusammenhang zusammen:
pV=\frac23N\overline E_\mathrm{kin}
p ist der Druck, V das Volumen und N die Teilchenzahl. \overline E_\mathrm{kin} ist die mittlere Energie der Bewegung von Ort zu Ort; der Strich bedeutet Mittelwert. Bei festem V und N wächst der Druck mit dieser mittleren Energie.
Das Modell trifft reale Gase vor allem bei niedriger Dichte gut. Bei hohem Druck werden Teilcheneigenvolumen und gegenseitige Kräfte wichtig.
Definition
Ideales Gas
Ein ideales Gas ist ein vereinfachtes Modell: Die Teilchen werden als punktförmig betrachtet, üben zwischen den Stößen keine Kräfte aufeinander aus und bewegen sich ständig ungeordnet. Stöße untereinander und mit den Wänden sind elastisch, die gesamte kinetische Energie bleibt dabei erhalten. Translatorisch bedeutet: Ein Teilchen bewegt sich als Ganzes von Ort zu Ort.
Merke: Gasdruck ist kein ruhender „Stoff“ im Gas. Er ist der makroskopische Mittelwert vieler Impulsüberträge an die Gefäßwand.
Beispiel
- 1Ein Gas wird bei unverändertem Volumen erwärmt.
- 2Die Teilchen besitzen danach im Mittel mehr translatorische kinetische Energie.
- 3Nach pV=\frac23N\overline E_\mathrm{kin} muss bei gleichem V und N der Druck steigen.
- 4Mikroskopisch übertragen die häufigeren und kräftigeren Wandstöße pro Zeit mehr Impuls.
Teste dich
Für N Teilchen lautet das ideale Gasgesetz:
pV=NkT
k ist die Boltzmann-Konstante. Verglichen mit der Druckgleichung folgt für die mittlere Energie der Bewegung von Ort zu Ort:
\overline E_\mathrm{kin}=\frac32kT
Die Kelvin-Temperatur T beschreibt damit die mittlere Bewegungsenergie. Sie legt weder die Energie noch die Geschwindigkeit eines einzelnen Teilchens fest. Bei gleicher Temperatur haben verschiedene ideale Gase dieselbe mittlere Energie dieser Bewegung.
Für einen Vergleich der Geschwindigkeiten quadrierst du zuerst die Einzelwerte, bildest ihren Mittelwert und ziehst dann die Wurzel. Diese quadratisch gemittelte Geschwindigkeit heißt v_\mathrm{rms}:
v_\mathrm{rms}=\sqrt{\overline{v^2}}
Sie hängt auch von der Teilchenmasse m ab:
v_\mathrm{rms}=\sqrt{\frac{3kT}{m}}
Leichtere Teilchen haben bei gleicher Temperatur ein größeres v_\mathrm{rms}. Der Strich über v^2 bedeutet: Erst die Quadrate mitteln. Für 3 m/s, 5 m/s, 7 m/s und 9 m/s ist dieser Mittelwert 41\,\mathrm{m^2/s^2}; das Quadrat des gewöhnlichen Mittelwerts beträgt dagegen 36\,\mathrm{m^2/s^2}.
Mehratomige Moleküle können Energie auch in Drehbewegungen speichern. Die Formel \frac32kT betrifft nur die mittlere Energie der Bewegung von Ort zu Ort, nicht die gesamte Energie jedes Gases.
Beispiel: Gleiche Temperatur, andere Teilchenmasse
- 1Zwei ideale Gase haben dieselbe Temperatur. Ein Teilchen von Gas A hat die vierfache Masse eines Teilchens von Gas B.
- 2Bei gleicher Temperatur ist die mittlere translatorische Energie gleich.
- 3Aus v_\mathrm{rms}\propto1/\sqrt m folgt: Gas A hat die halbe quadratisch gemittelte Geschwindigkeit von Gas B.
- 4Die unterschiedlichen Geschwindigkeiten gleichen die verschiedenen Teilchenmassen aus.
Teste dich
Für n Mol eines idealen Gases gilt:
pV=nRT
Dabei sind p der absolute Druck, V das Volumen, n die Stoffmenge, T die Kelvin-Temperatur und R die universelle Gaskonstante. Die Form mit Mol und die Form mit Teilchenzahl beschreiben denselben Zusammenhang.
Bei einer abgeschlossenen Gasmenge bleibt n konstant. Daher gilt für zwei Zustände:
\frac{p_1V_1}{T_1}=\frac{p_2V_2}{T_2}
Die Tabelle ordnet die Spezialfälle auch ihren Diagrammen zu. Auf der waagerechten Achse liegt jeweils die zweite Größe im Diagrammnamen, auf der senkrechten die erste. Die Temperaturachsen verwenden Kelvin.
Beispiel: Isobare Erwärmung im Kolben
- 1Ein abgeschlossenes ideales Gas hat bei konstantem Druck V_1=3{,}6\,\mathrm L und T_1=250\,\mathrm K. Es wird auf T_2=375\,\mathrm K erwärmt.
- 2Weil p und n konstant sind, gilt V_1/T_1=V_2/T_2.
- 3Daraus folgt V_2=V_1T_2/T_1.
- 4V_2=3{,}6\,\mathrm L\cdot\frac{375\,\mathrm K}{250\,\mathrm K}
- 5V_2=5{,}4\,\mathrm L
- 6Das größere Volumen passt zur Erwärmung bei konstantem Druck.
| Konstante Größe | Beziehung | Darstellung |
|---|---|---|
| T und n | pV=\text{const.} | Isotherme: Hyperbel im p-V-Diagramm |
| p und n | V/T=\text{const.} | Isobare: Gerade durch den Ursprung im V-T-Diagramm mit Kelvin-Skala |
| V und n | p/T=\text{const.} | Isochore: Gerade durch den Ursprung im p-T-Diagramm mit Kelvin-Skala |
Merke: Bestimme zuerst, welche Größen konstant bleiben. Für Gasgesetze gehören die Temperatur in Kelvin und der absolute Druck in die Rechnung.
Teste dich
Auch im thermischen Gleichgewicht haben Gasteilchen verschiedene Geschwindigkeiten. Die Maxwell-Verteilung zeigt in einer Kurve, wie häufig welche Geschwindigkeiten in einem idealen Gas vorkommen.
Bei der Geschwindigkeit null beginnt die Kurve bei null. Sie steigt zu einem höchsten Punkt und fällt danach mit einem langen Ausläufer. Bei höherer Temperatur desselben Gases wird sie breiter und niedriger; ihr höchster Punkt wandert zu größeren Geschwindigkeiten. Die gesamte Fläche unter der Kurve bleibt bei gleicher Teilchenzahl gleich. Daraus folgt nicht, dass jedes einzelne Teilchen schneller geworden ist.
Die Geschwindigkeit am höchsten Kurvenpunkt, der gewöhnliche Mittelwert und v_\mathrm{rms} sind verschiedene Werte. v_\mathrm{rms} ist der Mittelwert aus den quadrierten Geschwindigkeiten mit anschließender Wurzel.
Bei dicht gepackten realen Gasen werden Teilcheneigenvolumen und gegenseitige Kräfte wichtig. Niedrige Dichte verbessert die Näherung des Idealmodells. Gleicher Druck, gleiches Volumen und gleiche Temperatur bedeuten keine vollständige Gleichheit verschiedener Gase auf Teilchenebene.
Beispiel: Zwei Kurven desselben Gases
- 1Vergleiche dasselbe ideale Gas bei zwei Temperaturen und gleicher Teilchenzahl.
- 2Die breitere, niedrigere Kurve mit dem weiter rechts liegenden Maximum gehört zur höheren Temperatur.
- 3Daraus folgt nicht, dass jedes Teilchen schneller geworden ist.
- 4Die Verteilung zeigt nur, dass größere Geschwindigkeiten insgesamt häufiger vorkommen.
Teste dich
Alles auf einen Blick
Kinetische Gastheorie
Idealmodell
Punktteilchen stoßen elastisch und bewegen sich ungeordnet.
Gasdruck
Viele Wandstöße übertragen im Mittel Impuls auf die Wand.
Temperatur
Im idealen Gas bestimmt Kelvin die mittlere Energie der Teilchenbewegung von Ort zu Ort.
Masse
Im idealen Gas haben leichtere Teilchen bei gleichem T ein größeres v_\mathrm{rms}.
Verteilung
Beim selben idealen Gas verbreitert höhere Temperatur die Maxwell-Kurve.
Grenze
Eigenvolumen und Teilchenkräfte werden bei hoher Dichte wichtig.
Musteraufgabe · Schritt für Schritt
Geschwindigkeit bei anderer Teilchenmasse
- 1Gas C und Gas D sind ideal und haben dieselbe Temperatur. Die Teilchenmasse von C ist neunmal so groß wie die von D.
- 2Für beide gilt dieselbe mittlere translatorische Energie \overline E_\mathrm{kin}=\frac32kT.
- 3Die quadratisch gemittelte Geschwindigkeit hängt von der Masse ab:
- 4\frac{v_{\mathrm{rms},C}}{v_{\mathrm{rms},D}}=\sqrt{\frac{m_D}{m_C}}
- 5\frac{v_{\mathrm{rms},C}}{v_{\mathrm{rms},D}}=\sqrt{\frac19}=\frac13
- 6Gas C besitzt ein Drittel der quadratisch gemittelten Geschwindigkeit von D, aber dieselbe mittlere translatorische Energie pro Teilchen.
Fehler finden
Zwei Geschwindigkeiten auswerten In einer Zeile steckt ein Fehler. Tippe sie an.
Fehler in Zeile 3Die Geschwindigkeiten wurden vor dem Quadrieren gemittelt. Die Quadrate sind (6\,\mathrm{m/s})^2=36\,\mathrm{m^2/s^2} und (10\,\mathrm{m/s})^2=100\,\mathrm{m^2/s^2}. Der Mittelwert dieser Quadrate ist 68\,\mathrm{m^2/s^2}. Erst dann ziehst du die Wurzel: v_\mathrm{rms}=\sqrt{68\,\mathrm{m^2/s^2}}\approx8{,}2\,\mathrm{m/s}.
Lückentext
Wähl in jeder Lücke das passende Wort und prüf dann deine Antworten.
Bei elastischen Wandstößen wird übertragen. Im idealen Gas bestimmt die Kelvin-Temperatur die der Bewegung von Ort zu Ort. Eine breitere Maxwell-Kurve beim selben Gas deutet auf Temperatur.
Karteikasten
Erst selbst überlegen, dann umdrehen.
Übung mit Feedback