Mathematik · Klasse 7–8 · aktualisiert
Definitionsmenge und Wertemenge einfach erklärt
Die Definitionsmenge enthält die erlaubten Eingaben, die Wertemenge die erreichten Ausgaben. Du lernst, beide zu bestimmen und richtig zu notieren.
0 von 11 Aufgaben gelöst
Kurz gesagt
Die Definitionsmenge D enthält alle Zahlen, die du für x einsetzen darfst. Die Wertemenge W enthält alle Werte f(x), die dabei wirklich herauskommen. Für f(x)=x^2 gilt zum Beispiel D=\mathbb R und W=[0;\infty[.
Die Definitionsmenge enthält alle erlaubten Eingaben einer Funktion. Die Wertemenge enthält alle Ausgaben, die daraus tatsächlich entstehen. Du fragst also zuerst: „Welche Zahlen darf ich für x einsetzen?“ Danach fragst du: „Welche Werte kann f(x) annehmen?“
Deine Lernziele
Hake ab, was du schon kannst. Löst du alle Aufgaben eines Abschnitts, hakt Mela das Ziel für dich ab.
4 Abschnitte
Eine Funktion ordnet jedem erlaubten Eingabewert x genau einen Ausgabewert y=f(x) zu. Die Definitionsmenge beschreibt die Eingabeseite, die Wertemenge die Ausgabeseite. Statt Wertemenge sagt man auch Wertebereich.
Definition
Definitionsmenge
Die Definitionsmenge D ist die Menge aller Zahlen, die du für x einsetzen darfst.
Definition
Wertemenge
Die Wertemenge W ist die Menge aller Werte y=f(x), die für zulässige Eingaben tatsächlich entstehen.
Beispiel: f(x)=2x mit D=\{1;2;3;4\}
- 1f(1)=2\cdot1=2
- 2f(2)=2\cdot2=4
- 3f(3)=2\cdot3=6
- 4f(4)=2\cdot4=8
- 5Also W=\{2;4;6;8\}
Teste dich
Wenn keine Definitionsmenge vorgegeben ist, suchst du die größtmögliche Menge erlaubter Eingaben. Beginne mit den reellen Zahlen und schließe alle verbotenen Werte aus. Achte besonders auf drei Stellen: Bei einem Bruch darf der Nenner nicht 0 werden. Unter einer Quadratwurzel darf keine negative Zahl stehen. Das Argument eines Logarithmus muss größer als 0 sein. Mit \mathbb R\setminus\{0\} schreibst du zum Beispiel: alle reellen Zahlen außer 0.
Beispiel: Zwei Definitionsmengen
- 1f(x)=2x-1: kein Nenner, keine Wurzel, also D=\mathbb R
- 2g(x)=\sqrt{x}: es muss x\geq0 gelten
- 3Also D=[0;\infty[\,=\mathbb R_0^+
- 4Die 0 ist erlaubt, denn \sqrt{0}=0
Merke: Bestimme die Definitionsmenge vor der Wertemenge. Verbotene Eingaben dürfen bei der Suche nach Ausgaben nicht verwendet werden.
Teste dich
Für die Wertemenge untersuchst du nur erlaubte Eingaben. Frage dann: Welche kleinsten oder größten Ausgaben gibt es, und welche sind unmöglich? Bei g(x)=x^3 mit D=\mathbb R entstehen alle reellen Zahlen, also W=\mathbb R. Typische Grenzen sind: Eine Quadratwurzel liefert keine negativen Werte. Sinus und Kosinus liefern nur Werte von -1 bis 1. Eine Exponentialfunktion mit positiver Basis liefert nur positive Werte. Bei einer Parabel in Scheitelpunktform f(x)=a(x-d)^2+e entscheidet das Vorzeichen von a: Bei a>0 ist sie nach oben geöffnet und W=[e;\infty[. Bei a<0 ist sie nach unten geöffnet und W=]-\infty;e].
Beispiel: f(x)=x^2 mit D=\mathbb R
- 1Ein Quadrat ist nie negativ: x^2\geq0
- 2Der Wert 0 wird bei x=0 erreicht
- 3Jeder positive Wert kommt ebenfalls vor
- 4Also W=[0;\infty[\,=\mathbb R_0^+
Beispiel: Zwei Parabeln in Scheitelpunktform
- 1f(x)=3(x-2)^2+1: a=3>0, nach oben geöffnet
- 2Kleinster Wert 1 am Scheitelpunkt, also W=[1;\infty[
- 3g(x)=-2(x-5)^2+4: a=-2<0, nach unten geöffnet
- 4Größter Wert 4 am Scheitelpunkt, also W=]-\infty;4]
Teste dich
Einzelne Werte schreibst du mit geschweiften Klammern: W=\{1;2;3;4\}. Bei Intervallen zeigen die Klammern, ob die Randwerte dazugehören. [-5;6] enthält beide Randwerte. [2;9[ enthält 2, aber nicht 9. ]5;\infty[ enthält alle Zahlen größer als 5, aber nicht die 5. Von der Wertemenge unterscheidest du die Zielmenge: Sie wird vorgegeben und darf auch Werte enthalten, die nie erreicht werden. Für f(x)=x^2 kann die Zielmenge \mathbb R sein, die Wertemenge ist trotzdem [0;\infty[. Hat eine Funktion eine Umkehrfunktion, tauschen D und W ihre Rollen: Die Definitionsmenge der Funktion wird zur Wertemenge der Umkehrfunktion und umgekehrt.
Merke: Eine geschlossene Klammer steht an einem enthaltenen Randwert, eine offene an einem ausgeschlossenen. Bei \infty und -\infty ist die Klammer immer offen, weil Unendlich keine Zahl ist.
| Schreibweise | Bedeutung |
|---|---|
| \{1;2;3;4\} | genau diese vier Zahlen |
| [-5;6] | von -5 bis 6, beide Ränder enthalten |
| [2;9[ | von 2 bis 9, nur 2 enthalten |
| ]5;\infty[ | alle Zahlen größer als 5 |
| \mathbb R\setminus\{0\} | alle reellen Zahlen außer 0 |
Teste dich
Alles auf einen Blick
Definitionsmenge und Wertemenge
Definitionsmenge
alle erlaubten Eingaben für x
Ausschlüsse
Nenner nicht null, unter der Wurzel nichts Negatives, Logarithmus nur für positive Zahlen
Wertemenge
alle Ausgaben, die wirklich entstehen
Parabel
Scheitelwert und Öffnungsrichtung legen die Wertemenge fest
Schreibweise
geschweifte Klammern für Mengen, eckige für Intervalle
Umkehrfunktion
Definitions- und Wertemenge tauschen ihre Rollen
Musteraufgabe · Schritt für Schritt
D und W von f(x)=\sqrt{x-3}+1 bestimmen
- 1Unter der Wurzel darf nichts Negatives stehen: x-3\geq0
- 2Also x\geq3 und D=[3;\infty[
- 3Die Wurzel liefert nur Werte ab 0: \sqrt{x-3}\geq0
- 4Deshalb gilt f(x)\geq1, und f(3)=\sqrt{0}+1=1 wird erreicht
- 5Also W=[1;\infty[
Fehler finden
D und W von f(x)=x^2-1 In einer Zeile steckt ein Fehler. Tippe sie an.
Fehler in Zeile 3Hier wurde eine Aussage über die Ausgabe x^2 als Verbot für die Eingabe x gelesen. Du darfst jede reelle Zahl einsetzen, richtig ist D=\mathbb R.
Lückentext
Wähl in jeder Lücke das passende Wort und prüf dann deine Antworten.
Die Definitionsmenge enthält alle erlaubten . An einem enthaltenen Randwert steht eine Klammer. Die Wertemenge von x^2 bei reellen Eingaben beginnt bei .
Karteikasten
Erst selbst überlegen, dann umdrehen.
Übung mit Feedback