Karnaugh-Veitch-Diagramm einfach erklärt

Das KV-Diagramm hilft, einen logischen Ausdruck kürzer zu machen. Dabei gilt: Ein Schalter ist offen (0) oder geschlossen (1). ¬A bedeutet „NICHT A“, ∨ bedeutet ODER und ∧ bedeutet UND. Oft lässt man das UND-Zeichen weg: ¬AB heißt ¬A ∧ B.

Das Diagramm besteht aus Feldern. Jedes Feld gehört zu einer Zeile der Wahrheitstabelle. Die Felder sind so beschriftet, dass sich waagerechte und senkrechte Nachbarn in genau einer Variablen unterscheiden.

Warum hilft das? Zwei Nachbarfelder unterscheiden sich nur in einer Variablen, zum Beispiel in A und ¬A. Klammerst du den gemeinsamen Teil aus, bleibt (A ∨ ¬A) übrig. Und A ∨ ¬A ergibt 1. Diese Variable fällt also weg. Darauf beruht das Zusammenfassen.

Ein Diagramm hilft zusätzlich, weil ein Mensch Muster in einem Bild leichter erkennt als in einem abstrakten Ausdruck.

Zuerst schreibst du die Wahrheitstabelle auf. Du liest die Zeilen mit der Ausgabe 1 ab. Zu jeder solchen Zeile gehört ein Minterm. Das ist ein UND-Ausdruck mit allen Variablen. Steht in der Zeile bei einer Variablen eine 0, schreibst du sie negiert. Alle Minterme verbindest du mit ∨. So entsteht die disjunktive Normalform (DNF).

Ein KV-Diagramm für n Eingangsvariablen hat 2ⁿ Felder. Es ist an den Rändern mit den Variablen beschriftet, jede kommt negiert und nicht negiert vor. Die Anordnung darf unterschiedlich sein, aber waagerechte und senkrechte Nachbarn müssen sich in genau einer Variablen unterscheiden.

In ein Feld kommt eine 1, wenn ein Minterm der Funktion vorliegt, sonst eine 0. Meist lässt man die Nullen weg. Leere Felder liest du dann als 0.

Beim Wechselschalter mit den Schaltern A und B gehört ¬AB zu einem Feld und A¬B zu einem anderen. In einer Darstellung steht ¬AB oben rechts und A¬B unten links. Diese beiden Felder liegen nur an einer Ecke zusammen, sie sind also keine Nachbarn.

KV-Diagramme eignen sich für Funktionen mit höchstens etwa 4 bis 6 Eingangsvariablen. Bis 4 Variablen sind sie übersichtlich.

Bei der Minterm-Methode fasst du möglichst viele waagerecht und senkrecht benachbarte Einsen zu rechteckigen Blöcken zusammen. Erlaubt sind Blöcke aus 1, 2, 4, 8, 16 … Feldern, also Zweierpotenzen. Alle Einsen müssen in einem Block stehen. Auch eine einzelne 1 zählt mit.

Die wichtigsten Regeln: Ein Block enthält keine Nullen. Felder, die sich nur an der Ecke berühren, sind keine Nachbarn. Blöcke dürfen sich überlappen und über den Rand hinweggehen. Bei drei Variablen sind das linke und das rechte Randfeld benachbart. Wenn es Alternativen gibt, wählst du die größeren Blöcke, denn sie führen zu kürzeren Termen.

Jeden Block wandelst du in einen UND-Term um. Variablen, die im Block negiert und nicht negiert vorkommen, lässt du weg. Die UND-Terme verbindest du mit ODER. Das ergibt eine Minimalform. Ein Block aus 2ⁿ Feldern spart n Variablen.

Der Term ist meist minimal. Sonst hilft manchmal noch Ausklammern.

Manchmal ist für eine Eingabe gar kein Ergebnis vorgesehen. Dann ist der Wert egal. Man schreibt ein X und nennt es Don’t-Care. Dieser Wert hat keinen Einfluss auf die Schaltung.

Im KV-Diagramm darf ein X für die Gruppenbildung als 1 oder als 0 gelten. Du wählst so, dass wenige und große Blöcke entstehen. Ohne X wäre die Gruppenbildung ungünstiger. Die Schaltung kann dadurch kompakter werden, zum Beispiel mit weniger Bauteilen (Gattern). Sie darf aber nur dort eingesetzt werden, wo die Don’t-Cares gelten.

Normalerweise fasst du Einsen zusammen (Minterm-Methode). Hast du weniger Felder mit 1 als mit 0, wählst du diese Methode. Sonst nimmst du die Maxterm-Methode. Sie unterscheidet sich nur in vier Punkten: Du fasst Nullen zu Blöcken zusammen (andere Bezeichnung: Päckchen). Ein Block ergibt einen ODER-Term. Die ODER-Terme verbindest du mit UND. Die Variablen werden zusätzlich einzeln negiert.

Bei der Lampe von eben gibt es nur zwei Nullen und sechs Einsen. Die beiden Nullen bilden einen Zweierblock. Auch so ergibt sich l = ¬A ∨ B.