Aussagenlogik: Formeln und Wahrheitstabellen

Eine Aussage ist ein Satz, bei dem es sinnvoll ist zu fragen, ob er wahr oder falsch ist. Du musst die Antwort nicht kennen. Es genügt, dass die Frage nach wahr oder falsch Sinn hat. Aussagen beschreiben Sachverhalte, und man kann ihnen einen Wahrheitswert zuordnen. Der Wahrheitswert ist „wahr“ oder „falsch“.

Bei Fragesätzen, Ausrufen und Wünschen ist die Frage nach wahr oder falsch nicht sinnvoll. Ausgedachte Beispiele: „Wie spät ist es?“ ist eine Frage. „Das ist ja toll!“ ist ein Ausruf. „Wäre es doch schon Sommer!“ ist ein Wunsch. Keiner dieser Sätze ist wahr oder falsch.

In der klassischen Aussagenlogik hat jede Aussage einen von genau zwei Wahrheitswerten, meist wahr oder falsch. „Halbwahrheiten“ gibt es nicht. Eine Aussage ist auch dann wahr oder nicht wahr, wenn man den Wahrheitsgehalt nicht kennt. Das ist zum Beispiel bei ungelösten mathematischen Problemen der Fall.

Manche Sätze sind zu ungenau. „München ist 781 km von Hamburg entfernt“ gilt im mathematischen Sinn nicht als Aussage. Der Satz ist in vielerlei Hinsicht ungenau und hat Interpretationsspielraum. Das heißt: Man kann ihn auf verschiedene Weise verstehen. Dasselbe gilt für „Eintracht Frankfurt wird in der nächsten Saison deutscher Fußballmeister.“ Dagegen sind „9 ist durch 3 teilbar“ (wahr) und „Alle Autos sind grün“ (falsch, es gibt einfache Gegenbeispiele) Aussagen.

Aussagen kann man mit Wörtern wie „nicht“, „und“, „oder“ und „wenn … dann“ verknüpfen. Solche Verknüpfungen heißen Junktoren. Eine Aussage ohne solche Verknüpfung heißt Elementaraussage.

Nicht (¬): ¬A dreht den Wahrheitswert von A um. Ist A wahr, ist ¬A falsch, und umgekehrt. Du bildest ¬A, indem du „Es ist nicht der Fall, dass“ davorsetzt.

Und (∧): A ∧ B ist wahr, wenn sowohl A als auch B wahr sind. Sonst ist es falsch.

Oder (∨): A ∨ B ist wahr, wenn mindestens eine Teilaussage wahr ist, auch wenn beide wahr sind. Falsch ist es nur, wenn beide falsch sind. Das heißt nichtausschließendes Oder. Beim ausschließenden „entweder A oder B“ ist genau eine Aussage wahr. Es ist auch falsch, wenn beide wahr sind.

Wenn … dann (→): A → B sagt: Ist A wahr, dann reicht das für B. Die Tabelle zeigt: A → B ist falsch, wenn A wahr und B falsch ist. In allen anderen Zeilen ist es wahr. Der Junktor sagt nichts darüber, warum A und B zusammenhängen, ob durch Ursache oder Zufall.

Genau dann, wenn (↔): A ↔ B ist wahr, wenn A und B denselben Wahrheitswert haben, sonst falsch.

Eine zusammengesetzte Aussage besteht aus kleineren Teilaussagen. „Die Straße ist nass und es regnet“ besteht aus „Die Straße ist nass“ und „Es regnet“. Diese beiden lassen sich nicht weiter trennen. Sie sind atomar. Der Wahrheitswert der ganzen Aussage steht fest, sobald du die Wahrheitswerte der atomaren Teilaussagen kennst. Für jeden Junktor ist nämlich festgelegt, was herauskommt.

Eine Wahrheitstabelle zeigt für alle möglichen Zuordnungen von Wahrheitswerten zu den atomaren Teilaussagen, welchen Wahrheitswert die ganze Aussage hat.

So gehst du vor: Erstens suchst du die atomaren Aussagen. Zweitens legst du die Zeilen an. Bei n atomaren Aussagen brauchst du 2ⁿ Zeilen, denn jede Aussage kann wahr oder falsch sein. Beim Ordnen hilft das Binärsystem: Die Zeilennummer wird als Zahl aus nur 0 und 1 geschrieben, 1 steht für W (wahr), 0 für F (falsch). Drittens machst du für jede Teilaussage eine Spalte. Zuerst kommen die atomaren Aussagen, dann die größeren Teile, ganz rechts die gesamte Aussage. Viertens füllst du Zeile für Zeile aus.

Ein Beispiel ist die Formel (A → B) ∧ (B → C) → (A → C). Sie hat 3 atomare Aussagen, also 2³ = 8 Zeilen. Dazu kommen die Teilaussagen A → B, B → C, A → C und (A → B) ∧ (B → C), denn ∧ bindet stärker als →. Insgesamt sind das 8 Spalten. Nimm die Zeile mit A wahr, B wahr, C falsch: A → B ist wahr, B → C ist falsch, also ist die Und-Verknüpfung falsch. A → C ist falsch. Aus falsch → falsch wird wahr. In dieser Formel kommt in jeder Zeile wahr heraus.

Manche Formeln sind immer wahr, egal welche Wahrheitswerte die Teilaussagen haben. Sie heißen Tautologie. In der Wahrheitstabelle steht dann in jeder Zeile wahr. Beispiele sind „Es regnet, oder es regnet nicht“ und „Wenn es regnet, dann regnet es“. Beim ersten Satz gilt: Ist „Es regnet“ wahr, ist der erste Teil wahr. Ist es falsch, ist „Es regnet nicht“ wahr. In beiden Fällen ist das „oder“ wahr.

Eine Kontradiktion ist eine stets falsche Aussage, also in jeder Zeile falsch. Ausgedachtes Beispiel: „Es regnet, und es regnet nicht“, kurz A ∧ ¬A. Ist A wahr, ist ¬A falsch. Ist A falsch, ist die Und-Verknüpfung schon deshalb falsch. Ein „und“ mit einem falschen Teil ist falsch. Eine Aussage ist genau dann eine Tautologie, wenn ihre Verneinung eine Kontradiktion ist.

Erfüllbar nennt man eine Formel, die in mindestens einer Zeile wahr wird. Eine Kontradiktion ist also nicht erfüllbar. Eine Tautologie ist in jeder Zeile wahr, also auch in mindestens einer, und damit erfüllbar. Eine Formel wie A ∧ B ist wahr nur in der Zeile, in der A und B wahr sind. Sie ist erfüllbar, aber keine Tautologie. Eine Aussage, die weder Tautologie noch Kontradiktion ist, heißt kontingent.

Mit Wahrheitstabellen kannst du auch Schlüsse prüfen. Der Modus ponens lautet: Aus „Wenn F, dann G“ und aus F darf man auf G schließen. Der Umkehrschluss geht von A → B auf ¬B → ¬A. Prüft man beide Formeln in einer Wahrheitstabelle, haben sie in jeder Zeile denselben Wahrheitswert. Falsch ist dagegen der Schluss von ¬A auf ¬B. Wenn A → B wahr ist, sagt ¬A nichts über B.