Wahrheitstabelle erstellen und auswerten

Eine Aussage ist ein Satz, von dem man eindeutig sagen kann, ob er wahr oder falsch ist. „Die Jahreszahl 2012 ist durch 4 teilbar.“ ist wahr. „Die Jahreszahl 2012 ist durch 100 teilbar.“ ist falsch. Wir schreiben kurz w für wahr und f für falsch. Mehr Werte gibt es in dieser zweiwertigen Logik nicht. Mit a und b meinen wir zwei Aussagen. Sie sind Platzhalter, sogenannte Variablen.

Eine Wahrheitstabelle zeigt, welchen Wahrheitswert eine logische Aussage hat. Mit ihr legt man fest, was die Verknüpfungen bedeuten.

NICHT dreht den Wahrheitswert um: Aus w wird f und aus f wird w. UND ist nur dann wahr, wenn a und b beide wahr sind. ODER ist nur dann falsch, wenn a und b beide falsch sind. Dieses ODER ist nicht das Entweder-oder aus dem Alltag: Es ist auch dann wahr, wenn beide Teile wahr sind.

„Wenn a, dann b“ ist nur in der Zeile a = w, b = f falsch, sonst wahr. „a genau dann, wenn b“ ist wahr, wenn a und b denselben Wahrheitswert haben, und falsch, wenn sie verschieden sind. Das ist nicht dasselbe wie die logische Äquivalenz zweier Formeln aus dem dritten Abschnitt.

Eine vollständige Wahrheitstabelle zeigt für alle möglichen Zuordnungen von Wahrheitswerten zu den Teilaussagen, welchen Wert die ganze Aussage annimmt. Jede Zeile ist eine solche Zuordnung.

Bei 2 Variablen gibt es 4 Zeilen, bei 3 Variablen 8 und bei 4 Variablen 16. Die Zahl wächst im Verhältnis 2ⁿ, wenn n die Zahl der Variablen ist. Mit jeder weiteren Variablen verdoppelt sie sich also. Du musst immer alle Zeilen ausfüllen. Darum eignet sich eine Wahrheitstabelle in der Praxis nur für eine kleine Anzahl von Variablen.

So gehst du vor: Schreibe zuerst die Variablen als erste Spalten. Zerlege die Formel in Teilformeln und gib jeder Teilformel eine eigene Spalte. Ganz rechts steht die Spalte der ganzen Formel. Jede Spalte füllst du aus den Spalten davor aus, mit der Wahrheitstabelle der jeweiligen Verknüpfung.

Die Zeilen ordnest du so: Bei 3 Variablen steht die erste Variable erst 4 Zeilen auf falsch, dann 4 Zeilen auf wahr. Die letzte Variable wechselt in jeder Zeile. So geht es von „falsch falsch falsch“ bis „wahr wahr wahr“. Bei 2 Variablen kann man auch mit w w, w f, f w, f f arbeiten. Bleibe in einer Tabelle bei einer Reihenfolge.

Die Ergebnisspalte zeigt dir, wie sich eine Formel verhält. Steht in jeder Zeile w, ist die Aussage eine Tautologie. Ein Beispiel ist „A oder nicht A“: Sie ist immer wahr, weil A entweder wahr oder falsch ist. Steht in jeder Zeile f, ist die Aussage eine Kontradiktion, also eine stets falsche Aussage. Steht beides in der Spalte, heißt sie logisch kontingent: Ihr Wahrheitswert hängt von den Teilaussagen ab. Erfüllbar nennt man eine Aussage, die wahr werden kann, die also keine Kontradiktion ist.

Mit der Ergebnisspalte kannst du auch Formeln vergleichen. Zwei Formeln sind äquivalent, wenn sie unter jeder Belegung denselben Wahrheitswert haben. Ihre Ergebnisspalten sind dann gleich. So kann man zum Beispiel die De Morganschen Gesetze zeigen.

In Formeln stehen oft Zeichen: ¬ steht für NICHT, ∧ für UND, ∨ für ODER, → für „wenn … dann“ und ↔ für „genau dann, wenn“. Die Implikation lässt sich als ¬A ∨ B schreiben: Die Formel (A → B) ↔ (¬A ∨ B) ist in allen vier Zeilen wahr. Achtung: „genau dann, wenn“ ist eine Verknüpfung innerhalb einer Formel. Die logische Äquivalenz vergleicht dagegen zwei Formeln. Beides hängt zusammen: Eine logische Äquivalenz liegt vor, wenn ein solches „genau dann, wenn“ eine Tautologie ist.