Addierer: Halbaddierer und Volladdierer erklärt

Eine einstellige Binärzahl hat nur eine Stelle, also 0 oder 1. Ein Halbaddierer hat zwei Eingänge und zwei Ausgänge. Mit ihm addierst du zwei einstellige Binärzahlen. Der Ausgang s (von englisch sum, „Summe“) liefert die rechte Stelle des Ergebnisses. Der Ausgang c (von englisch carry, „Übertrag“) liefert die linke Stelle.

Ein Volladdierer hat drei Eingänge und zwei Ausgänge. Die Eingänge heißen x, y und c_in, die Ausgänge s und c_out. Mit ihm addierst du drei einstellige Binärzahlen. Der Ausgang s liefert die niederwertige Stelle des Ergebnisses, also die ganz rechts. Bei 47 ist die 7 niederwertiger als die 4. Der Ausgang c_out liefert die höherwertige Stelle, also die weiter links.

Der Halbaddierer hat keinen Übertrags-Eingang. Der Volladdierer hat ihn: c_in. Aus zwei Halbaddierern und einem zusätzlichen Oder-Gatter (ein kleiner Baustein einer Schaltung) kann man einen Volladdierer aufbauen.

Eine Wahrheitstabelle listet alle Möglichkeiten für die Eingänge auf und zeigt zu jeder die Ausgänge. Beim Volladdierer ist jeder der drei Eingänge 0 oder 1. Das ergibt 8 Zeilen. Du suchst die Zeile mit deinen Werten für x, y und c_in und liest dort c_out und s ab.

Beim Ablesen fällt auf: s ist 1, wenn genau ein Eingang oder alle drei Eingänge 1 sind. c_out ist 1, wenn mindestens zwei Eingänge 1 sind. Dazu passen die Gleichungen s = x ⊕ y ⊕ c_in und c_out = (c_in ∧ (x ⊕ y)) ∨ (x ∧ y). Dabei steht ∧ für „und“ und ∨ für „oder“. Das Zeichen ⊕ heißt XOR: Es ist 1, wenn genau eine der beiden Zahlen 1 ist, sonst 0. Also gilt 1 ⊕ 1 = 0.

Zum Vergleich: Beim Halbaddierer gilt c = x ∧ y. Nur bei x = 1 und y = 1 ist c = 1, und dann ist s = 0.

Ein Addiernetz addiert mehrstellige Binärzahlen. Die bisherigen Addierer arbeiten nur mit zwei oder drei Eingangsbits. In der Praxis werden sie meistens zu größeren Addierern verschaltet.

Du beginnst mit den niederwertigsten Bits, also ganz rechts. Du addierst nur Bits mit gleicher Wertigkeit. Die Wertigkeit ist der Wert, den eine Leitung darstellt, wenn sie 1 ist. Beim Übertrag verdoppelt sich die Wertigkeit. Du verbindest das c_out einer Stufe mit dem c_in der nächsten Stufe. Der Übertrag der ersten Stufe geht also in den Eingang der zweiten.

Der Carry-Ripple-Addierer besteht aus n Volladdierern. Oder er besteht aus n−1 Volladdierern und 1 Halbaddierer ohne Carry in. Das englische „ripple“ heißt „rieseln“. Der Übertrag rieselt von Stufe zu Stufe. Ein Volladdierer kann sein Ergebnis erst ausgeben, wenn die Stufe davor den Übertrag geliefert hat. Das kann zu Verzögerungen führen.

Das c_out der letzten Stufe bildet den (n+1)-ten Ausgang. Das Ergebnis zweier n-stelliger Zahlen hat n+1 Stellen.