Wronski-Determinante

Bedeutung und Zweck

Die Wronski-Determinante ist ein Hilfsmittel, um skalare Funktionen auf lineare Unabhängigkeit zu prüfen, sofern diese hinreichend oft differenzierbar sind. Lineare Unabhängigkeit bedeutet, dass keine nichttriviale Linearkombination der Funktionen überall den Wert null ergibt. Die Wronski-Determinante ist besonders beim Lösen gewöhnlicher Differentialgleichungen nützlich.

Definition

Für n reell- oder komplexwertige Funktionen f₁, …, fₙ auf einem Intervall I ist die Wronski-Determinante definiert als

W(f₁, …, fₙ)(t) = det

[ f₁(t) f₂(t) … fₙ(t) ] [ f₁⁽¹⁾(t) f₂⁽¹⁾(t) … fₙ⁽¹⁾(t) ] [ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ] [ f₁⁽ⁿ⁻¹⁾(t) f₂⁽ⁿ⁻¹⁾(t) … fₙ⁽ⁿ⁻¹⁾(t) ] , t ∈ I.

In der ersten Zeile stehen die Funktionen selbst. Die folgenden Zeilen enthalten ihre erste bis (n − 1)-te Ableitung. Die Wronski-Determinante entsteht also aus einer n × n-Matrix.

Kriterium und wichtige Einschränkung

Gilt für mindestens eine Stelle t₀ ∈ I

W(f₁, …, fₙ)(t₀) ≠ 0,

so sind die Funktionen f₁, …, fₙ auf dem gesamten Intervall I linear unabhängig. Ein von null verschiedener Wert der Wronski-Determinante liefert daher ein sicheres Kriterium für lineare Unabhängigkeit.

Die Umkehrung gilt jedoch nicht allgemein: Aus W(f₁, …, fₙ)(t) = 0 für alle t ∈ I folgt nicht zwingend, dass die Funktionen auf I linear abhängig sind. Die Funktionen können lokal linear unabhängig sein, obwohl die Wronski-Determinante überall verschwindet.

Bei linearen gewöhnlichen Differentialgleichungen zweiter Ordnung kann die Berechnung mithilfe der Abelschen Identität vereinfacht werden. Dies gilt, wenn im Fundamentalsystem der Differentialgleichung y″(t) − a₁y′(t) − a₀y(t) = 0 der Koeffizient a₁ ≠ 0 ist.

Anwendung am Sturm-Liouville-Problem

Betrachtet wird die Differentialgleichung zweiter Ordnung

−ψ″ = λψ

mit den Randbedingungen ψ(0) = ψ(π) = 0. Für λ > 0 wird der Lösungsansatz

ψ(t) = α sin(√λ t) + β cos(√λ t)

mit beliebigen α, β ∈ ℝ verwendet. Aus ψ(0) = 0 folgt β = 0. Die zweite Randbedingung verlangt sin(√λ π) = 0. Daher gilt √λ π = nπ und somit λ = n² für n ∈ ℕ. Eine Lösung ist folglich

ψ(t) = α sin(nt).

Eine weitere Lösung wird durch φ = pψ′ = ψ′ mit p = 1 gegeben. Daher wird

φ(t) = αn cos(nt)

als zweite Lösung betrachtet. Die Wronski-Determinante lautet

W(φ, ψ)(t) = det [ φ(t) ψ(t); φ′(t) ψ′(t) ] = det [ αn cos(nt) α sin(nt); −αn² sin(nt) αn cos(nt) ] = (αn)² cos²(nt) + (αn)² sin²(nt) = (αn)² > 0.

Damit ist W(φ, ψ)(t) für t ≥ 0, genauer für alle t ∈ ℝ, positiv. Die Funktionen φ(t) und ψ(t) sind deshalb linear unabhängig.

Gegenbeispiel zur Umkehrung

Definiert man auf den reellen Zahlen

f₁(t) = 0 für t ≤ 0 und f₁(t) = t² für t > 0,

f₂(t) = t² für t ≤ 0 und f₂(t) = 0 für t > 0,

so gilt für alle t ∈ ℝ:

W(f₁, f₂)(t) = det [ f₁(t) f₂(t); f₁′(t) f₂′(t) ] = 0.

Trotzdem sind die Funktionen nicht auf jedem betrachteten Bereich in gleicher Weise abhängig. Aus der Gleichung λf₁(t) + μf₂(t) = 0 folgt für t = 1, dass λ = 0 ist, und für t = −1, dass μ = 0 ist. Dies zeigt die lineare Unabhängigkeit der beiden Funktionen bei t = 1 beziehungsweise bei t = −1. Für t = 0 gilt dagegen f₁(0) = 0 und f₂(0) = 0; dort liegt lineare Abhängigkeit vor. Das Beispiel zeigt, warum das Verschwinden der Wronski-Determinante allein kein allgemeines Kriterium für lineare Abhängigkeit ist.