Superstatistik

Grundidee

Die Superstatistik ist ein Zweig der statistischen Mechanik und statistischen Physik. Sie untersucht nichtlineare Systeme und Nichtgleichgewichts-Systeme, also Systeme, die nicht einfach durch einen festen Gleichgewichtszustand beschrieben werden können.

Ihr Kernprinzip ist die Überlagerung oder Superposition mehrerer unterschiedlicher statistischer Modelle. Dadurch soll die gewünschte Nichtlinearität beschrieben werden. In gewöhnlicher statistischer Sprache entspricht das dem Zusammensetzen von Verteilungen von Zufallsvariablen. Die Superstatistik kann außerdem als einfacher Fall eines doppelt stochastischen Modells verstanden werden, also eines Modells, in dem zusätzlich zu den Zufallsgrößen auch Parameter zufällig schwanken.

Eingeführt wurde die Superstatistik 2003 von E. G. D. Cohen und Christian Beck. Die Motivation war, in physikalischen Systemen nicht von vornherein, also nicht a priori, die Maxwell-Boltzmann-Verteilung anzunehmen.

Modell eines Nichtgleichgewichts-Systems

Ausgangspunkt ist ein erweitertes thermodynamisches System, das lokal im Gleichgewicht ist und dort eine Boltzmann-Verteilung besitzt. Für einen Zustand mit Energie E ist die Wahrscheinlichkeit proportional zu exp(-βE). Dabei ist β die lokale inverse Temperatur.

Ein thermodynamisches Nichtgleichgewichts-System wird in diesem Ansatz dadurch modelliert, dass makroskopische Schwankungen der lokalen inversen Temperatur β berücksichtigt werden. Diese Schwankungen laufen auf Zeitskalen ab, die viel größer sind als die mikroskopischen Relaxationszeiten, die zur Ausbildung der Boltzmann-Verteilung gehören.

Wenn die Schwankungen von β durch eine Verteilung f(β) beschrieben werden, ergibt sich der superstatistische Boltzmann-Faktor des Systems als Integral über alle möglichen Werte von β:

B(E)=∫₀^∞ dβ f(β) exp(-βE).

Wahrscheinlichkeiten und Partitionsfunktion

Für ein System mit diskreten Energiezuständen {E_i}_{i=1}^W definiert der superstatistische Boltzmann-Faktor die superstatistische Partitionsfunktion:

Z=∑_{i=1}^W B(E_i).

Die Partitionsfunktion Z dient zur Normierung der Wahrscheinlichkeiten. Die Wahrscheinlichkeit, dass sich das System im Zustand E_i befindet, lautet:

p_i=(1/Z)B(E_i).

Damit ersetzt die Superstatistik die einfache Boltzmann-Gewichtung exp(-βE) durch eine gemittelte Gewichtung B(E), bei der die Schwankungen der inversen Temperatur β einbezogen werden.

Mögliche Ergebnisse

Die konkrete Form der Superstatistik hängt davon ab, wie die Fluktuationen von β modelliert werden. Diese Modellierung führt zu einer statistischen Beschreibung der Boltzmann-Statistik, die im Artikel als „Superstatistik“ bezeichnet wird.

Ein Beispiel ist der Fall, dass β einer Gammaverteilung folgt. Dann entspricht die resultierende Superstatistik der Tsallis-Statistik.

Superstatistiken können außerdem zu anderen statistischen Formen führen, darunter Potenzgesetzverteilungen oder gestreckte Exponentialfunktionen.