Schiefer Kegel

Aufbau eines allgemeinen Schiefkegels

Ein allgemeiner Schiefkegel hat als Basis eine geschlossene, parametrisierte Kurve in der xy-Ebene: x(t)=p(t), y(t)=q(t) für t∈[c,d]. Die Funktionen p und q sind dort bis auf höchstens endlich viele Ausnahmen differenzierbar und erfüllen p(c)=p(d), q(c)=q(d).

Der Höhenfußpunkt ist E=(u,v). Die Kegelspitze S steht im senkrechten Abstand h über E, also S=(u,v,h). Bei nicht geschlossenen Kurven beschreibt derselbe Formalismus Segel, etwa Dreiecks-Segel oder geschwungene Dreiecke, statt Kegel.

Mantelfläche

Die Mantelfläche M eines allgemeinen Schiefkegels ist

M=½∫_c^d √(Z(t)²+h²·N(t)²) dt.

Dabei gilt Z(t)=(p-u)·q̇−(q-v)·ṗ und N(t)=√(ṗ²+q̇²). Der Punkt über einer Größe bezeichnet die Ableitung nach dem Parameter t.

N beschreibt die Geschwindigkeit, mit der die Basiskurve durchlaufen wird. Z verbindet die Lage des Höhenfußpunktes E mit der jeweiligen Richtung der Kurventangente.

Geometrische Bedeutung von Z und N

Für h→0 wird die Mantelformel zu M=½∫_c^d √(Z(t)²) dt. Mit √(Z²)=|Z| beschreibt M=½∫_c^d |Z(t)| dt die Fläche des in die xy-Ebene zusammengefalteten Kegelmantels.

Wählt man stattdessen die Wurzel Z, ergibt sich die Fläche der Kegelbasis:

M=½∫_c^d Z(t) dt=½∫_c^d(pq̇−ṗq) dt=∫_c^d p q̇ dt.

Die Terme mit u und v haben dabei über das geschlossene Intervall Integral 0. Die Fläche zwischen den von E ausgehenden Tangenten und der Basis, ohne die Basis selbst, heißt Tangenten-Zipfel und lautet

M=¼∫_c^d(|Z(t)|−Z(t)) dt.

Der Faktor ¼ verhindert, dass diese Fläche doppelt gezählt wird. Liegt E auf dem Rand oder innerhalb der Kegelbasis, ist diese Fläche 0.

N dt ist das Umfangselement der Basis, daher U=∫_c^d |N(t)| dt. Der Betrag ist nötig: Für die Astroide p(t)=a cos³(t), q(t)=a sin³(t) auf [0,2π] gilt N(t)²=9a²sin²(t)cos²(t). Mit N(t)=3a sin(t)cos(t) wäre das Integral 0, mit |N(t)| erhält man dagegen U=6a.

Abstand zu Tangenten und Kreiskegel

Der Quotient Z/N misst den Abstand des Höhenfußpunktes E=(u,v) von der Tangente an die Basiskurve. Die Tangente in (p,q) hat die Gleichung (p−x)q̇−(q−y)ṗ=0. Nach Division durch N entsteht die Hessesche Normalform; das Einsetzen von E liefert Z/N.

Für den Kreis mit Mittelpunkt (m,n) und Radius r, p(t)=r cos(t)+m und q(t)=r sin(t)+n auf [0,2π], gilt Z(t)/N(t)=r+(m−u)cos(t)+(n−v)sin(t). Ist E=(m,n), so ist Z/N=r: Die Lote von E auf die Kreistangenten sind Radiusvektoren der Länge r.

Für einen Kreis um den Ursprung, p(t)=r cos(t), q(t)=r sin(t), lautet die Mantelfläche eines schiefen Kreiskegels

M=(r/2)∫_0^(2π) √((r−u cos(t)−v sin(t))²+h²) dt.

Mit e²=u²+v² sowie u=e cos(w), v=e sin(w) wird daraus wegen u cos(t)+v sin(t)=e cos(w−t):

M=r∫_0^π √((r−e cos(t))²+h²) dt.

Bei der Integration über den Vollkreis ist die Wahl des festen Winkels w unerheblich.