Pseudobewertung

Grundidee und Definition

Eine Pseudobewertung ist eine abgeschwächte Variante eines Betrags auf einem unitären Ring. Ein unitärer Ring ist ein Ring mit einem Einselement 1. Eine Pseudobewertung ordnet jedem Ringelement eine nichtnegative reelle Zahl zu und misst damit gewissermaßen die Größe dieses Elements.

Formal sei R ein unitärer Ring. Eine Abbildung |·|: R → ℝ_{≥ 0} heißt Pseudobewertung, wenn für alle a, b ∈ R gilt: |a| = 0 genau dann, wenn a = 0; außerdem gilt |a − b| ≤ |a| + |b|; und es gilt die Submultiplikativität |a · b| ≤ |a| · |b|. Submultiplikativität bedeutet, dass das Produkt höchstens so groß bewertet wird wie das Produkt der Einzelbewertungen.

Betrag und nicht-archimedischer Fall

Eine Pseudobewertung wird zu einem Betrag, wenn die schwächere Bedingung der Submultiplikativität durch Multiplikativität ersetzt wird. Dann gilt für alle a, b ∈ R die genaue Gleichung |a · b| = |a| · |b|.

Eine Pseudobewertung heißt nicht-archimedisch, wenn für alle a, b ∈ R die stärkere Ungleichung |a + b| ≤ max(|a|, |b|) gilt. Das bedeutet: Die Bewertung einer Summe ist höchstens so groß wie der größere der beiden Summandenwerte.

Wichtige Eigenschaften

Für jede Pseudobewertung gelten immer |−a| = |a| und die Dreiecksungleichung |a + b| ≤ |a| + |b|. Die Dreiecksungleichung besagt, dass die Bewertung einer Summe nicht größer ist als die Summe der Bewertungen.

Außerdem gilt für eine Pseudobewertung stets |1| ≥ 1. Für einen Betrag gilt sogar |1| = 1. Wenn ein unitärer Ring einen Betrag besitzt, ist er notwendigerweise ein Integritätsring. Das liegt daran, dass sich durch die Multiplikativität die Nullteilerfreiheit der reellen Zahlen auf den Ring überträgt.

Induzierte Metrik

Aus einer Pseudobewertung |·| lässt sich eine Metrik definieren, also ein Abstand zwischen Ringelementen. Diese Metrik ist d: R × R → ℝ_{≥ 0} mit d(a, b) = |a − b|.

Wenn die Pseudobewertung nicht-archimedisch ist, dann ist die dadurch definierte Metrik eine Ultrametrik. Eine Ultrametrik ist eine Metrik, bei der die stärkere nicht-archimedische Form der Dreiecksungleichung gilt.

Beispiele für Ringkonstruktionen

Ist (R, |·|) ein unitärer Ring mit Pseudobewertung, dann können daraus weitere unitäre Ringe mit Pseudobewertung entstehen.

Für Polynomringe gilt: Die Polynomalgebren R[X] in einer Veränderlichen und R[X₁, …, Xₙ] in mehreren Veränderlichen sind mit der Polynommultiplikation wieder unitäre Ringe. Auf diesen Polynomringen ist die 1-Pseudonorm eine Pseudobewertung.

Für Matrizenringe gilt analog: Die Matrizenalgebren R^{n×n} sind mit der Matrizenmultiplikation wieder unitäre Ringe. Auf dem Matrizenring ist sogar die p-Pseudonorm für jedes reelle p mit 1 ≤ p ≤ 2 eine Pseudobewertung.