Plattkarte

Begriff und Grundprinzip

Die Plattkarte, auch Plate-Carrée-Projektion, Rektangularprojektion oder rektanguläre Projektion genannt, ist in der mathematischen Kartografie eine abstandstreue beziehungsweise längentreue Zylinderprojektion. Ihre Spezialform ist die quadratische Plattkarte, auch äquirektanguläre Projektion, einfache Zylinderprojektion oder geographische Projektion genannt.

Bei der Plattkarte bezeichnet man besonders die Hauptlage der Rektangularprojektion mit dem Äquator als Standardparallele. In der quadratischen Spezialform werden die geographischen Koordinaten direkt wiedergegeben: Die geographische Länge entspricht der horizontalen Koordinate, die geographische Breite der vertikalen Koordinate.

Die Längenkreise werden streckentreu abgebildet. Die Breitenkreise sind – außer an den Berühr- oder Schnittkreisen – verzerrt. Die Pole werden mit derselben Länge wie der Äquator dargestellt; dadurch nimmt die Flächenverzerrung zu den Polen hin zu. Die Plattkarte ist der einfachste mögliche Kartennetzentwurf.

Koordinaten und Transformation

Bei der Transformation werden Kugelkoordinaten in ebene Kartenkoordinaten umgerechnet. Dabei bedeuten:

• λ: Längengrad auf der Kugeloberfläche
• φ: Breitengrad der Kugeloberfläche
• φ₁: Parallele zum Äquator beziehungsweise Standardparallele
• λ₀: Hauptmeridian
• x: horizontale Koordinate des projizierten Punktes
• y: vertikale Koordinate des projizierten Punktes

Für eine Kugel lautet die Transformationsformel:

x = (λ − λ₀) cos φ₁ y = (φ − φ₁)

Diese Formel gilt nur bei einer Kugel, nicht bei einem Ellipsoid.

Rücktransformation

Die Rücktransformation wandelt ebene Kartenkoordinaten wieder in Kugelkoordinaten um. Sie lautet:

λ = x / cos φ₁ + λ₀ φ = y + φ₁

Damit können geographische Länge und Breite aus der Kartenposition abgelesen oder berechnet werden.

Quadratische Plattkarte

Die quadratische Plattkarte, also die äquirektanguläre Projektion, ist eine abstandstreue Zylinderprojektion in normaler Lage mit einem Berührkreis am Äquator. Der Äquator selbst wird längentreu dargestellt. Gebiete in Äquatornähe erscheinen außerdem relativ winkel- und flächentreu.

Ihr wichtigstes Entwurfsprinzip ist, dass auf der Karte die Abstände zwischen jeweils zwei benachbarten Breitengraden und zwischen zwei benachbarten Längengraden identisch sind. Deshalb sind die Meridiane in Nord-Süd-Richtung genauso lang wie der halbe Äquator, was bei der Annahme der Erde als Kugel korrekt ist. In Nord-Süd-Richtung ist die Karte daher längentreu.

In mittleren Breiten entstehen dagegen starke Verzerrungen in Ost-West-Richtung. Die Verzerrung nimmt zu den Polen hin mit dem Faktor 1 / cos(Breite) zu. Die quadratische Form eignet sich deshalb besonders dann, wenn Koordinatentreue und eine einfache Rasterdarstellung wichtiger sind als eine möglichst geringe Verzerrung der gesamten Erdoberfläche.

Rechteckige Plattkarte

Bei der rechteckigen Plattkarte schneidet der Zylinder die Erdkugel beziehungsweise das Erdellipsoid. Neben den Längenkreisen sind die Schnittkreise längentreu.

Dadurch entsteht ein rechteckiges Kartennetz mit dem Seitenverhältnis 1 : cos(Schnittbreite). Breiten- und Längenkreise besitzen konstante Abstände, allerdings in dem Verhältnis, das für die mittlere geografische Breite der Karte, die Schnittbreite, zutrifft.

Die Breiten zwischen den Schnittkreisen werden verkürzt dargestellt. Außerhalb der Schnittkreise werden sie in Richtung der Pole verlängert. Die Verzerrung beträgt cos(Schnittbreite) / cos(Breite). Diese Variante stellt die mittleren Breiten besser dar als die quadratische Plattkarte.

Verwendung und Bedeutung

Wegen ihrer Verzerrungen wurde die Plattkarte in der Geographie nur selten verwendet; frühe Seekarten der Nautik nutzten sie jedoch. Für moderne Geoinformationssysteme ist sie besonders wichtig, weil geographische Koordinaten direkt in die Karte eingetragen und aus ihr abgelesen werden können.

Typische Anwendungen sind weltweite Datensätze und satellitengestützte Daten, etwa NASA World Wind. Ein bekannter äquirektangularer Datensatz ist „Blue Marble: Cloudless Earth“ der NASA. Die Projektion eignet sich besonders für Rasterdatensätze, also Bilddateien. Vektorbasierte Anwendungen wie Google Maps oder OpenStreetMap verwenden dagegen seit Mitte der 2000er die winkeltreue Mercator-Projektion (Web-Mercator).

Für sehr kleinräumige Karten ist die äquirektangulare Darstellung ebenfalls natürlich, weil die Erdkrümmung dort keine Rolle mehr spielt. Ortskarten und Baupläne sind de facto Äquirektangularprojektionen. Auch die direkte Umrechnung geodätischer Vermessungsdaten in Planpositionen ist Standard bei digitalisierten Katastern.

Ähnliche Anwendungen gibt es bei Sternkarten und in Astronomieprogrammen, besonders für horizontnahe Ansichten. Für zenitnähere Ansichten werden häufig perspektivische Abbildungen verwendet, darunter die winkel- und kreistreue stereografische Projektion oder die zenitabstandstreue azimutale Projektion. Gesamtansichten können mit der orthografischen Projektion dargestellt werden. Die Abstandstreue der Plattkarte ist für astronomische Entfernungsschätzungen wie „faustbreit“ (10°) geeignet.